4 СИНТЕЗ СИСТЕМ ЛОГИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Среди разновидностей систем управления важное место занимают системы логического управления (СЛУ). Характерным признаком этих систем является применение двоичных датчиков и исполнительных механизмов в виде источников входных и приемников выходных сигналов. При проектировании СЛУ широко используются микросхемы типа СИС и БИС, которые позволяют решать сложные функции и алгоритмы аппаратным (схемотехническим) путем.   К числу таких микросхем относятся: арифметико-логические,  расчетные и триггерные устройства, регистры, сумматоры, умножители, мультиплексоры, шифраторы, компараторы и др. Менее известны на  практике проектирования мультиплексоры (MX), представляющие  собой логическое устройство, которое содержит g- управляющих входов U1, U2,..., Ug;               2g - информационных входов D0, D1, D2;                                   стробирующий вход и выход. При подаче на управляющие входы комбинации двоичных сигналов и соответствующего сигнала на вход стробирования к выходу Y мультиплексора подключается тот информационный вход, порядковый номер которого отвечает весу двоичной комбинации управляющих сигналов. Построение логических схем на мультиплексорах проводится в виде структур, которые отличаются способами функционального распределения и разложения  булевых функций (БФ). Наиболее часто на практике применяется разложение БФ по способу Шеннона:

,

где  - остаточные функции разложения, которые получаются из функции  путем подстановки констант 0 и 1 вместо сменных переменных множества . После проведения этой операции получим:

для  имеем

для  имеем

для l имеем

Например, булева функция имеет вид

 

 

Для компактности записи заданной булевой функции используется  десятичная форма записи с обозначением  отдельных  конъюнкций и  представляет-ся   в виде множества  :

.

С учетом специфики работы мультиплексоров и конструктивных особенностей их реализации с числом управляющих входов g = 2,3,4 и информационных входов 2g = 4,8,16 разложение заданной БФ можно осуществить  по двум, трем или четырём переменным. Тогда при построении логической схемы на мультиплексорах переменные должны подключаться к управляющим входам, а остаточные функции (ОФ) разложения - к информационным входам соответ-ствующего MX. Если образованные в результате первого шага ОФ имеют нетривиальный вид, то процедура разложения каждой из них должна повторяться до момента  тривиального вида, а именно:

   0 (отсутствующая).

Остаточные функции разложения Qt по последним двум , трем , четырем  переменным с булевой функцией  могут быть вычислены по формулам:

   

где     t = 0,1,...,2 g-1;

- целая часть от деления ;

- остаток от деления ;

 - множество терминов БФ;

g - число переменных, на  которые  раскладывается   БФ.

При построении логической схемы на MX, которые реализуют заданную БФ,   возможны два случая:

a) n <= g;

б) n => g

В первом случае БФ реализуется схемой, состоящей из одного мультиплексора, в    которой   g     переменных  подключаются  к   управляющим    входам MX, а на информационные входы подаются константы 0  или 1.

Во втором случае процесс построения логической схемы проводится по результатам разложения заданной БФ. Вследствие первого шага разложения исходной БФ   по g переменным получаем совокупность ОФ, которая зависит  только от n-g переменных. Следующие шаги разложения уменьшают каждый раз число переменных  ОФ на g, вплоть до получения в процессе разложения ОФ тривиального вида. Таким образом, число шагов разложения БФ отвечает числу каскадов схемы на мультиплексорах с подключением на управляющие входы MX тех переменных, по которым осуществлялось разложение; на информационные входы MX последнего каскада подаются отдельные переменные  или , а также сигналы логического 0 или логической 1, исходя из вида полученных ОФ:

 

Ǿ

Согласно приведенному выше алгоритму осуществим разложение заданной БФ по двум, трем и четырем переменным, сводя результаты расчетов в таблицы. Вариант разложения  БФ  по двум переменным  приведен  в  табл. 4.1.

 

Таблица  4.1 – Результаты  разложения  БФ  по  двум  переменным

 

Таким образом, на первом шаге разложения БФ получаем следующие ОФ:

 

                                          

Разложение БФ продолжим, так как не все ОФ имеют тривиальный вид.

На втором шаге рассматривается каждая из полученных на первом шаге разложения остаточных функций Qt (табл. 4.2).

 

Таблица  4.2 – Результаты  разложения  остаточных функций Qt

 

На втором шаге разложения БФ имеем следующую ОФ:

для Ǿ,               

для Ǿ,             Ǿ,          Ǿ;

для Ǿ,                 Ǿ;

для    Ǿ,          Ǿ,         

Так как ОФ, полученные на втором шаге разложения, являются тривиальными, проверим это практической реализацией построением двухкаскадной схемы на MX с g = 2. Схемная реализация БФ на MX типа К1533КП2 приведена на рис. 4.1. Вариант разложения БФ по трем переменным приведен  в                   табл. 4.3.    

Таблица  4.3 – Результаты  разложения  БФ  по  трем  переменным                                             

 

 

Таким образом, после первого разложения по трем переменным получены следующие ОФ:

            Ǿ,                              

                                   

Поскольку одну часть ОФ получили тривиальной (Q0 - Q1, Q5 - Q7), a другую (Q4) - нетривиальной, что  свидетельствует о нецелесообразности дальнейшего разложения БФ и ее схемной реализации (для окончательной реализации БФ при таком подходе нужно иметь восемь мультиплексоров).

Вариант разложения БФ по четырем переменным  приведен в табл. 4.4.

Таблица  4.4 – Результаты  разложения  БФ  по  четырем  переменным

 

Таким образом, после первого шага разложения БФ по четырем переменным получены следующие ОФ:

Q0=Q1=Q2=Q7=Q9=Q12=Q13=Q14=Ǿ, Q3=Q5=Q6=Q8=Q10=Q15= Ǿ,

Q0=1.

Поскольку все ОФ тривиальные, разложение БФ заканчиваем и ее можно реализовать на одном MX при g=4. Схемная реализация заданной БФ на одном мультиплексоре типа К155КП1 приведена на рис.  4.2.

Для реализации на  мультиплексорах     лучше  всего  подходят БФ с числом переменных конъюнкций до 9.