2.3. Способи переходу від системи диференціальних рівнянь до рівнянь стану

 

Перехід від системи рівнянь у формі (2.1) до рівнянь стану (2.2) – (2.3) може бути здійснений різними шляхами. Одній і тій самій вихідній системі рівнянь може відповідати кілька систем у формі Коші залежно від способу визначення змінних стану. Розглянемо найбільш поширені підходи.

Спосіб 1. Нехай об’єкт управління описується лінійними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами, які можна подати у вигляді

,               (2.3)`

де , .

Запишемо диференціал за допомогою -оператора Лапласа при нульових початкових умовах, взявши .

Тоді рівняння (2.3)` в операторній формі набуде вигляду

,               (2.4)

де .

Визначимо  з формули (2.4):

,                   (2.4)`

де  та  називаються операторами об’єкта за управлінням та збуренням відповідно.

Розкладемо оператори об’єкта на елементарні доданки:

,     ,        (2.5)

де  - корені характеристичного рівняння

,                                       (2.6)

,            ,

,      .         (2.7)

Із урахуванням (2.5) рівняння (2.4) можна записати у вигляді

.        (2.8)

Уведемо змінні стану:

.                     (2.8)`

Тоді рівняння (2.2) можна записати так:

,               (2.9)

а рівняння (2.8) набуде вигляду

.           (2.10)

Рівняння (2.9) і (2.10) називаються рівняннями стану лінійного стаціонарного об’єкта.

Рівняння стану (2.9) і (2.10) зручно переписати у матрично-векторній формі

,

,                   (2.11)

де ;

;

;

 – символ транспонування;

 – діагональна матриця, елементи головної діагоналі якої дорівнюють кореням характеристичного рівняння (2.6), а решта елементів – нулі;

 – - вимірний вектор.

Недоліком цього способу є необхідність розв’язання характеристичного рівняння (2.6), що ускладнюється при великих значеннях полінома. Цей недолік можна усунути, використовуючи спосіб 2.

Спосіб 2 може використовуватися, якщо диференціальні рівняння (2.1) також є лінійними з постійними коефіцієнтами.

Для простоти припустимо, що збурення відсутні, тобто . Уведемо вектор , компоненти якого визначаються так: , , …, .

Тоді рівняння стану (2.9) і (2.10) можна записати у вигляді

,   ,    (2.12)

де  – квадратична -вимірна матриця;

 і  – -вимірні вектори;

,     ,

,    .

Спосіб 3 застосовується, якщо диференціальний оператор  має порядок, менший за , тобто  (похідна  має порядок, більший за похідну ).

Нехай збурення відсутні, тобто. Тоді рівняння (2.4) можна переписати у вигляді

.

Видно, що

,    ,              (2.13)

де ;

.

Із урахуванням цього отримаємо, що

,

.                  (2.14)

Уведемо змінні стану

; ,

; ,

.

Із урахуванням цих змінних вираз (2.14) можна переписати у вигляді

 

              (2.14)`

У матричних позначеннях рівняння стану набуває вигляду:

,

,

де .

Спосіб 4. Часто властивості ОУ змінюються з часом. Якщо об’єкт лінійний, то нестаціонарність проявляється в залежності коефіцієнтів від часу.

Нехай збурення відсутні (). Тоді рівняння (2.1) можна записати у вигляді (див. (2.3)`)

.                 (2.15)

За аналогією зі способом 1 рівняння стану (2.11) можна подати так:

;  ,   (2.16)

де   ,     ,         (2.17)

, .

У свою чергу,

,

.              (2.18)

Спосіб 5 може використовуватися, якщо нелінійні рівняння не містять похідної від керуючого впливу .

Нехай збурення  відсутні й об’єкт описується рівнянням

,               (2.19)

яке можна розв’язати щодо . Тоді

.           (2.20)

Уведемо змінні стану:

,

,

,                                                         (2.21)

          …

,

.

Із урахуванням уведених змінних стану  рівняння (2.20) набуде такого вигляду:

.           (2.22)

Рівняння (2.21) і (2.22) є рівнянням стану для випадку (2.19).

Рівняння стану у векторній формі можна записати так:

;   ,          (2.23)

де .

Спосіб 6. Розглянуті методи отримання рівнянь стану можуть бути застосовані й до багатовимірних об’єктів, для яких  є - вимірним вектором управлінь із компонентами , , …, .

Для багатовимірних об’єктів, як і для одновимірних об’єктів, рівняння стану записуються у вигляді

,   ,    (2.24)

де  – - вимірний вектор керованих процесів із компонентами , , …, ;

 – - вимірний вектор стану з компонентами , , …, .

Явна залежність функцій  та  від часу  свідчить про те, що до об’єкта, крім управляючого впливу , застосовано й зовнішній вплив  (див. рис. 2.1).

Об’єкти, у яких у рівняннях стану є явна залежність від часу , називаються неавтономними. Якщо в рівняннях стану немає явної залежності від часу , то такі об’єкти називаються автономними.

Спосіб 7. Методи опису неперервних об’єктів прийнятні й для дискретних об’єктів, які описуються не диференціальними, а різницевими рівняннями, що зв’язують один із одним вихідні та вхідні процеси в різні дискретні моменти часу. Для одновимірного дискретного об’єкта різницеві рівняння можна записати у формі

,

де .

Це рівняння можна замінити на  різницевих рівнянь першого порядку.

У результаті математичний опис багатовимірного дискретного об’єкта у векторній формі зводиться до системи рівнянь стану, аналогічних рівнянням (2.24):

,    .           (2.25)