3.5. Приклади задач оптимального управління

 

1. Задача про мінімальну тривалість перехідного процесу

У електронних колах за наявності комутаційних пристроїв і ємнісних або індукційних елементів виникають перехідні процеси, часову залежність яких можна зобразити за допомогою графіка, поданого на рис. 3.2.

Для стабільної роботи електронних схем перехідні процеси в основному є небажаними, і тому прагнуть до зменшення тривалості перехідних процесів. Сформулюємо задачу оптимального управління для цього випадку.

 

Нехай є система управління, структура якої подана на    рис. 1.2. Об’єкт управління в початковий момент часу перебуває в нульовому стані . На вхід системи подається задавальне збурення у формі одиничної ступінчастої функції . Необхідно знайти таке управління , при якому перехід вектора стану із початкового стану  у кінцевий стан  із урахуванням обмеження (3.1) займе мінімальний час.

У цьому випадку критерій оптимальності записується у вигляді

.

Широкий клас задач оптимального управління, у яких необхідно знайти мінімальний час будь-якого процесу, називається задачами про максимальну швидкодію.

 

2. Задача про максимальну точність відтворення

При серійному виробництві виробів необхідно, щоб вони якомога більш точно відповідали зразку. Однак різні зовнішні випадкові фактори є причиною виникнення відхилень від зразка. Клас задач оптимального управління, що дозволяють визначити режими виробництва виробів із найменшим відхиленням від зразків, називається задачами про максимальну точність відтворення. Сформулюємо таку задачу.

Нехай на УП подається збурення , яке відтворюється на виході ОУ, тобто . На ОУ діє випадкове збурення, , імовірні властивості якого відомі. Таке збурення  призведе до відхилення вихідної змінної  від заданої величини  на похибку , тобто . Необхідно підібрати таку імпульсну характеристику  УП, щоб середньоквадратична похибка  вихідного сигналу , викликана збуренням , була б мінімальною.

Критерій оптимальності для такої задачі можна записати так:

.

3. Задачу про оптимізацію кінцевого стану розглянемо на прикладі ракети. Нехай ракета масою  із запасом палива  підіймається на висоту , витрачаючи паливо з секундною витратою . Враховуючи прискорення вільного падіння , силу лобового опору  і коефіцієнт пропорційності між тягою двигуна і витратою палива , підібрати таку секундну витрату палива , щоб ракета за кінцевий час  (невідоме) підіймалася на максимальну висоту .

Позначимо висоту , швидкість польоту , масу .

Тоді .

Згідно з другим законом Ньютона прискорення

.

Запишемо цей вираз із урахуванням умови задачі:

.

Замінимо фізичні величини змінними стану:

,

.

Критерій оптимальності можна записати у вигляді

 

при додаткових обмеженнях:

, , , .

Тоді задачу оптимізації кінцевого стану можна сформулювати так: у області допустимих управлінь  знайти таке управління , щоб одна із змінних стану (наприклад, висота ) у кінцевий момент часу  набувала максимального значення. Задачі такого типу називаються термінальними.

4. Задача про мінімальні витраті палива

Інакше попередню задачу можна сформулювати так: знайти таку витрату палива , при обмеженні , при якій кількість палива, витрачена на піднімання на висоту , виявилася б мінімальною, тобто

.

5. Задача про мінімальні енергетичні витрати

Нехай під дією управління  об’єкт переміщується з початкового в кінцевий стан і описується рівняннями стану ; . Необхідно знайти таке збурення , щоб енергетичні витрати на переміщення об’єкта за час  були б мінімальними.

Критерій оптимальності в цьому випадку має вигляд

.