4.1. Основи варіаційного обчислення

 

Варіаційне обчислення – розділ математики, що займається пошуками функцій, на яких деякі величини досягають максимуму або мінімуму. Якщо за кожною функцією  можна зіставити число , то  є функціоналом функції , тобто. . Іншими словами, функціонал є функцією, у якому аргумент є функцією.

Розглянемо найпростішу задачу варіаційного обчислення.

Нехай заданий функціонал із відомими межами інтегрування  та :

.                      (4.1)

Якщо функція  однозначна і неперервна разом із своїми одиничними похідними до другого порядку, а функція  однозначна і неперервна разом із похідними першого порядку, то такі функції називаються гладкими. Позначимо гладкі функції .

Якщо задані значення функції  у початковій  та у кінцевій  точках і сама функція  є гладкою , то така функція називається допустимою.

Тоді задача варіаційного обчислення формулюється так: серед допустимих функцій  знайти таку функцію, на якій функціонал  (4.1) досягає найменшого значення. Математично цю умову можна записати в такій формі:

.                               (4.2)

Функціонал  досягає на кривій  мінімуму, якщо його значення на будь-якій іншій кривій , близькій до цієї кривої , не менше за , тобто

.

Часто при розв’язанні задач, що описуються за допомогою диференціальних рівнянь, отримується кілька близьких функцій, але тільки одна з них буде оптимальною (найкращою). Тому розглянемо поняття близькості.

Дві функції  та  називаються близькими в сенсі близькості нульового порядку, якщо максимальне значення модуля різниці функцій мале:

,

де  – досить мале число.

Дві функції  та  називаються близькими в сенсі близькості першого порядку, якщо мале не тільки максимальне значення модуля різниці функцій, але й максимальне значення модуля різниці перших похідних цих функцій, тобто

 

Аналогічні визначення можна дати і для близькості функцій більш високих порядків (для другого, …, -го порядків).

Для функціонала  (4.1) необхідно порівнювати допустимі функції щодо близькості першого порядку, оскільки  є функцією від першої похідної з управління .

Якщо функціонал  досягає на кривій  мінімуму відносно кривих, близьких до  щодо нульового порядку, то такий мінімум називається сильним. У цьому випадку мінімальна функція вибирається серед багатьох близьких кривих, для яких виконується лише одна умова .

Якщо функціонал  досягає на кривій  мінімуму відносно кривих, близьких до  щодо близькості першого порядку, то такий мінімум називається слабким. Тут мінімальна функція вибирається серед небагатьох кривих, для яких виконується й умова , і умова . Отже, умова сильного мінімуму входить до умови слабкого мінімуму. Звідси випливає, що сильний мінімум є і слабким (але не навпаки).

У задачах ми будемо шукати лише слабкий мінімум.