4.2. Рівняння Ейлера

 

Повернемося до задачі варіаційного обчислення, тобто серед усіх близьких кривих  знайдемо таку функцію , при якій виконується умова (4.2).

Припустимо, що функція, при якій виконується умова (4.2), відома. Позначимо її . Нехай початки та кінці оптимальної  і неоптимальної  кривих збігаються (див. рис. 4.2). Для кривих близьких щодо першого порядку криві відрізняються тільки крутизною нахилу, тобто першими похідними. Тоді для неоптимальної кривої  можна записати, що

,

де  – мале число;

 – довільна гладка функція, що у початковий і кінцевий моменти часу дорівнює нулю ;

 – варіація функції .

Із урахуванням цього функціонал (4.1) можна записати у вигляді

.         (4.3)

Необхідна умова оптимальності (екстремальності) функції  – рівність нулю першої похідної за змінною . Знайдемо  і прирівняємо до нуля.

 

.       (4.3)`

Із урахуванням того що ; , вираз (4.3)` можна подати у вигляді

.

Розглянемо другий доданок .

Використаємо властивість інтегралів

.                                 (4.4)

Позначимо . Тоді . Знайдемо  та  у (4.4). Для цього продиференціюємо  за часом : . Звідки випливає, що . Оскільки , то .

Тоді другий доданок можна записати так:

.

Оскільки множник  за умовою, то отримаємо, що

. (4.5)

Скористаємося лемою Лагранжа: якщо для кожної безперервної функції  та  інтеграл  тотожно дорівнює нулю при всіх , то  або . За умовою , тоді.

Із урахуванням цього можна записати, що

.                            (4.6)

Отримане рівняння (4.6) називається рівнянням Ейлера.

Оскільки , то

.

Тоді рівняння Ейлера в розгорнутій формі набуде вигляду

.              (4.7)

Таким чином, розв’язавши рівняння Ейлера (диференціальне рівняння другого порядку) із використанням двох граничних умов, можна знайти оптимальне управління , при якому . Така функція  називається екстремаллю.