4.3. Умови Лежандра

 

Умова екстремальності (4.6) є необхідною, але недостатньою умовою для знаходження оптимального управління, оскільки  не тільки для екстремальних значень функціонала  або , але й для точок перегину (рис. 4.3).

Для того щоб функціонал набував мінімального значення, необхідно, щоб виконувалася умова ; для максимального значення  – умова .

Знайдемо .

Ураховуючи, що функціонал  задається виразом (4.3), можна записати

.

Оскільки , то

.

Знайдемо середній доданок .

Скористаємося властивостями інтегралів (4.4):

.

Позначимо ; .

Тоді ; ; .

У результаті отримаємо, що

.

Із урахуванням того, що , отримаємо

.       (4.8)

Проаналізуємо отриманий вираз (4.8) для мінімального значення функціонала (тобто при ).

Оскільки перший доданок у виразі (4.8) , згідно з рівнянням Ейлера (4.6), то  при

.                                      (4.9)

Отримана умова мінімальності функціонала  (4.9) називається необхідною умовою Лежандра, яка формулюється так: для досягнення на деякій екстремалі мінімуму функціонала  необхідно, щоб у всіх точках цієї екстремалі виконувалася умова (4.9); для досягнення максимуму – умова

.                                    (4.10)

За умови  екстремаль має злами.

Таким чином, рівняння Ейлера (4.6) та умови Лежандра (4.9), (4.10) є необхідними умовами для екстремуму функціонала.

Крім необхідних умов, існують і достатні умови екстремальності функції:

1) функція  повинна задовольняти рівняння Ейлера (4.6), тобто повинна бути екстремаллю;

2) на екстремалі  повинні виконуватися умови Лежандра (4.9), (4.10);

3) рівняння Якобі

 

повинно мати розв’язок , що задовольняє умову  і не перетворюється на нуль у жодній точці при .