4.4. Рівняння Ейлера-Пуассона

 

Раніше розглянута методика розв’язання задач варіаційного обчислення використовувалася, якщо підінтегральна функція  містила похідні тільки першого порядку, тобто . Аналогічну методику розв’язання задач можна застосовувати й для узагальненого випадку, коли підінтегральна функція  містить похідні вищих порядків.

У цьому випадку функціонал (4.1) можна переписати у вигляді

.        (4.11)

Для однозначності розв’язання скористаємося граничними умовами:

, , …, ,            (4.12)

, , …, .

За наведеною вище методикою (4.3) – (4.6) можна отримати рівняння Ейлера для функціонала з похідними вищих порядків:

.  (4.13)

Рівняння (4.13) називається рівнянням Ейлера-Пуассона.

При розв’язанні рівняння Ейлера-Пуассона (4.13) отримаємо  (для  та ) постійних інтегрування, які знаходяться з граничних умов (4.12).

Аналогічно, умови Лежандра (4.9) та (4.10) у цьому випадку набудуть вигляду:

 для досягнення функціоналом  мінімуму,

 для досягнення функціоналом  максимуму.