4.5. Задачі з рухомими кінцями

 

Раніше ми вважали, що точки , ,  та  задані (див. визначення допустимої функції). Але у ряді випадків вони можуть бути невідомими. Тоді розглянемо методику розв’язання задач, до яких необхідно підібрати таку функцію , щоб функціонал  набував найменшого значення.

Для знаходження п’яти невідомих величин , , ,  та  необхідно п’ять рівнянь.

Функцію  можна знайти з рівняння Ейлера (4.6):

.                              (4.14)

Чотири інші невідомі можна знайти з рівності нулю перших похідних:

- для знаходження  використовується умова

;                               (4.15)

- для знаходження  – умова

;                               (4.16)

- для знаходження  – умова

;                           (4.17)

- для знаходження  – умова

.                           (4.18)

Умови (4.15) – (4.18) називаються умовами трансверсальності.

Методика знаходження , , ,  та  така: розв’язавши рівняння (4.14), отримаємо функцію  із постійними інтегрування  та . Підставляючи отриману функцію  в умови трансверсальності (4.15) – (4.18), знаходимо постійні інтегрування , , та , .

У ряді задач потрібно знайти оптимальне управління  у припущенні, що початок і кінець розв’язку лежать на деяких заданих кривих, тобто

;    ,                  (4.19)

де  та  – відомі функції, а ,  – невідомі величини.

Тоді для мінімізації функціонала  необхідно знайти тільки ,  та , оскільки постійні інтегрування  та  задані умовою (4.19). Таким чином, для знаходження трьох невідомих ,  та  необхідно розв’язати систему з трьох рівнянь. Запишемо їх.

Оптимальне управління  можна визначити з рівняння Ейлера (4.14):

.

Для знаходження  та  скористаємося умовами трансверсальності (4.17) та (4.18), записаними з урахуванням (4.19) у такому вигляді:

,                        (4.20)

.