4.6. Екстремалі зі зламами

 

Як зазначалося раніше (див. п.4.3), якщо , то функціонал  набуває мінімального значення; якщо  – функціонал  набуває максимального значення; якщо , то екстремаль має злам, тобто є кусково-гладкою функцією.

Знайти екстремаль кусково-гладкої функції, розв’язуючи рівняння Ейлера, не можна, оскільки рівняння Ейлера виводилося у припущенні гладкості екстремалей. Тому роблять так. Нехай функціонал (4.1)  і граничні точки , , ,  задані. Припустимо, що на відрізку  у невідомій точці  спостерігається єдиний злам функції  (рис. 4.4).

Розіб’ємо відрізок  на два відрізки:  та . Тоді функціонал  можна подати у вигляді суми

.

Подальше розв’язання задачі аналогічне розв’язанню задач із рухомими кінцями (див. (4.14) – (4.18)), але за умови, що ці вирази рівні для точок як ліворуч, так і праворуч від зламу . Запишемо рівняння Ейлера та умови трансверсальності для задачі зі зламами екстремалі:

,

,                        (4.21)

.                 (4.22)

Співвідношення (4.21) і (4.22) називаються умовами Вейерштрасса - Ердмана. Вони використовуються для визначення постійних інтегрування при розв’язанні рівняння Ейлера. Для знаходження точки зламу використовується умова безперервності екстремалі в цій точці: .