4.7. Задачі на умовний екстремум

 

Якщо у варіаційних задачах функціонал  залежить від декількох невідомих функцій  та , пов’язаних між собою деякими співвідношеннями (рівняннями зв’язку), то такі задачі називаються задачами на умовний екстремум.

Розглянемо функціонал  (4.1), залежний від  гладких функцій :

.   (4.23)

Нехай задані граничні умови ,  та рівняння зв’язків між змінними.

Рівняння зв’язків між змінними  можуть бути задані в одній із трьох форм:

1) алгебраїчній

;                    (4.24)

2) диференціальній

;              (4.25)

3) інтегральній

,       (4.26)

де , ;

 – кількість обмежень.

Тоді варіаційна задача формулюється так: у класі гладких функцій , які проходять через задані граничні точки функцій  та , , знайти такі функції , при яких функціонал  (4.23) досягає мінімуму при задоволенні рівнянь зв’язків. Якщо обмеження (рівняння зв’язку) задані в алгебраїчній формі (4.24), то задача називається геодезичною, у диференціальній формі (4.25) – загальною задачею Лагранжа, в інтегральній формі (4.26) – ізопериметричною. Найбільш загальною є загальна задача Лагранжа, а решта може бути отримана як окремий випадок задачі Лагранжа.