4.8. Метод невизначених множників Лагранжа

 

При розв’язанні задач на умовний екстремум зазвичай використовують метод невизначених множників Лагранжа. У цьому випадку замість функціонала  (4.23), у якому немає явних зв’язків між змінними, вводиться допоміжний функціонал :

,          (4.27)

де ;

 – невизначені множники Лагранжа;

 – кількість рівнянь зв’язку;

 – визначається рівняннями (4.24) – (4.26).

Далі за методикою, викладеною у попередніх пунктах (див. пп. 4.2, 4.5), знаходяться функції , при яких функціонал  набуває екстремального значення. При цьому функціонал  досліджується на безумовний екстремум.

Аналогічно (4.6) рівняння Ейлера записують у вигляді

, .                (4.28)

Із урахуванням того що ,  та , , маємо замкнену систему з  рівнянь для знаходження  невідомих функцій  та  невідомих множників Лагранжа .