4.9. Розв’язання задач оптимального управління варіаційними методами

 

Як зазначалося раніше (див. п. 2.2), для опису об’єкта управління використовують рівняння стану (1.2).

Перепишемо рівняння (1.2) у такій формі:

,    .      (4.29)

Нехай задані початковий і кінцевий стани об’єкта  та . Тоді критерій оптимальності можна записати у такому вигляді:

.                   (4.30)

Необхідно в області допустимих управлінь  знайти таке управління , при якому критерій оптимальності  досягає найменшого значення при переході об’єкта із заданого початкового стану  у заданий кінцевий стан  по траєкторії, що знаходиться в області допустимих станів .

У цьому випадку рівняння об’єкта (1.2) можна розглядати як рівняння зв’язків. Із рівнянь (1.2) видно, що вони задані у диференціальній формі, що відповідає (4.25).

Таким чином, для мінімізації функціонала  (4.30) необхідно спочатку знайти змінні , , …, , .

Використовуючи метод невизначених множників Лагранжа, складаємо допоміжний функціонал

.          (4.31)

Тут невідомим є змінні , ,  при . Для їх знаходження необхідна система  рівнянь. За таку систему можна використовувати  рівнянь стану (4.29),  рівнянь Ейлера для станів  (4.28) і рівність нулю першої часткової похідної , тобто

            (4.32)

Із урахуванням того що

,                  (4.33)

систему (4.32) можна записати так:

          (4.34)

У першому рівнянні (4.34) третій доданок дорівнює нулю, оскільки  не залежить від .

Проаналізуємо складові у другому рівнянні (4.34).

Третій доданок дорівнює нулю, оскільки .

Четвертий доданок дорівнює нулю, оскільки згідно з (4.30),  і не залежить від .

Шостий доданок дорівнює нулю, оскільки згідно з (4.29),  і не залежить від .

З урахуванням цього система (4.34) набуде вигляду

 

Для встановлення зв’язку третього рівняння з невизначеними множниками Лагранжа знайдемо часткову похідну від  (4.33) за :

.

У результаті отримаємо таку систему рівнянь:

            (4.35)

Однак не всі задачі можна розв’язати за допомогою варіаційного числення. Наприклад, якщо накладаються обмеження на область допустимих управлінь, тобто (см. (3.1)), то навіть якщо оптимальне управління і не виходить за цю область, а знаходиться на її границі, то це управління  не можна знайти, розв’язуючи рівняння Ейлера, тому що ми припускали, що .

Таким чином, методи варіаційного обчислення для розв’язання задач оптимального управління можна застосовувати, якщо функція  у складі функціонала  є двічі диференційованою, а управління  та змінні стану  не досягають обмежень.

Якщо ці умови не виконуються, то для розв’язання задач оптимального управління використовуються інші спеціальні методи.