6.1. Модифікований вектор стану

 

Принцип максимуму Понтрягіна є одним із основних методів розв’язання задач оптимального управління із закріпленим правим кінцем і фіксованим часом управління . Розглянемо сутність методу.

Нехай об’єкт управління описується векторним диференціальним рівнянням

                         (6.1)

і задані початковий стан об’єкта управління , область допустимих управлінь  і критерій якості

.                       (6.2)

Необхідно в області допустимих управлінь  знайти таке управління , при якому функціонал  на відрізку часу  досягає мінімального значення, тобто виконується умова

.

Для розв’язання задачі введемо дві додаткові змінні:

1) змінна , обумовлена рівнянням

,                             (6.3)

з якого випливає, що ;

2) змінна , підпорядковується рівнянню

.       (6.4)

Із (6.4) видно, що . При

.                  (6.5)

Із урахуванням нових змінних  та  введемо - вимірний модифікований вектор стану

        (6.6)

і - вимірний вектор – функцію

.                          (6.7)

Тоді рівняння стану (6.1) набуде вигляду

,                             (6.8)

а початкова умова при

.                     (6.9)

Отже, задачу оптимального управління можна сформулювати в такий спосіб: в області допустимих управлінь  знайти таке управління, при якому траєкторія руху об’єкта пройде через початкову точку, а нульовий компонент вектора стану  в момент  набуде найменшого значення, тобто

,  ,  , .         (6.10)