6.4. Дискретний принцип максимуму

 

Принцип максимуму Понтрягіна може бути використаний для пошуку оптимального управління й дискретних об’єктів. Розглянемо задачу оптимізації для автономного об’єкта (без явної залежності від часу ) із фіксованим часом, одновимірним управлінням  та вільним правим кінцем траєкторії.

Нехай об’єкт управління описується системою нелінійних різницевих рівнянь

;  ;  ,   (6.28)

де  – вектор стану;

;  – диференціальна функція.

Також припустимо, що задані початковий стан об’єкта  та обмеження на управління . Показник якості

.                       (6.29)

Необхідно знайти таку послідовність управлінь , , …, , що належать області допустимих управлінь , при яких показник якості  (6.29) досягає мінімального значення, а траєкторія руху об’єкта управління проходить через задану початкову точку .

Як і у випадку неперервної задачі, введемо нову змінну , що задовольняє рівняння

  (6.30)

при нульовій початковій умові .

З (6.30) видно, що при   ;

при  

;

при   .

Тому задача зводиться до мінімізації значення компоненти  модифікованого вектора стану об’єкта .

Для знаходження оптимального управління  складається функція Гамільтона

 

                   (6.31)

і система сполучених рівнянь у векторній формі

              (6.32)

або в скалярній формі

,      (6.33)

при граничних умовах .

Управління  буде оптимальним, якщо функція Гамільтона  набуває максимального значення:

,  (6.34)

де вектор  знаходиться з рівняння (6.32) при граничній умові ;

вектор  знаходиться з (6.28) та (6.30) при  та заданій початковій умові ;

функція Гамільтона  визначається відповідно до (6.31).

Співвідношення (6.34) є необхідною умовою мінімуму функціонала .

Розрахунок оптимальних дискретних управлінь  відповідно до принципу максимуму найчастіше здійснюється з використанням ЕОМ і рідко є аналітично розв’язуваною задачею.