7.3 Оптимальне управління об’єктом другого порядку

 

Як приклад розглянемо задачу управління одновимірним об’єктом другого порядку. Нехай об’єкт управління описується рівняннями стану

,   ,   .        (7.13)

При порівнянні (7.13) з (7.6) видно, що , ; ; ; .

Підставивши коефіцієнти  і  в (7.11) та (7.12), отримаємо вираз для оптимального управління

                      (7.14)

і рівняння Гамільтона-Якобі

.              (7.15)

Із (7.14) випливає, що оптимальне управління може набувати одного із двох значень: або , або . Тоді рівняння (7.15) можна подати у вигляді двох рівнянь:

 при  та ,    (7.16)

 при  та .    (7.17)

Виберемо  (одиничний імпульс на рис. 7.2).

Розв’язками рівнянь (7.16) та (7.17) відповідно при граничних умовах (7.13) є функції*

, .   (7.18)

Підставивши отримані вирази (7.18) в (7.14), отримаємо вираз для оптимального управління.

Кожне із співвідношень (7.18) окремо не є розв’язком рівняння Гамільтона-Якобі (7.15). Однак у фазовому просторі зі змінними  і  існують області значень цих змінних, у кожній із яких один вираз (7.18) буде розв’язком рівняння (7.15). Знайдемо ці області. Для цього підставимо отриманий в (7.18) час  у рівняння Гамільтона-Якобі (7.15)

,

,

,

.             (7.19)

 

 

 

*Докладне розв’язання рівнянь (7.16), (7.17) наведено в додатку Б

 

Оскільки другий доданок в (7.19) завжди ≥0, то перший доданок повинен бути ≤0, тобто

  або  .        (7.20)

Розглянемо цю умову у двох випадках: коли  та .

У випадку  зведемо (7.20) у квадрат:

  або  .           (7.21)

У випадку  умова (7.20) виконується, якщо вираз під коренем невід’ємний, тобто

  або  .            (7.22)

Порівнюючи (7.21) з (7.22), можна записати, що

.                        (7.23)

Вираз (7.23) отримано, якщо .

При  та , які не задовольняють (7.23), . Отже, , якщо

.                         (7.24)

Із (7.23), (7.24) видно, що границя розподілу між областями  та  описується співвідношенням

                      (7.25)

і називається лінією перемикання.

Нерівності (7.23) і (7.24) формують кінцевий алгоритм роботи оптимальної за швидкодією замкненої системи: вимірюють величини  і , обчислюють функцію . Якщо вона додатна, то беруть , якщо від’ємна, то .

Тоді вираз для оптимального управління можна записати у вигляді

.             (7.26)

Зобразимо структурну схему оптимальної системи управління об’єктом другого порядку (рис. 7.3). Для цього використовуємо рівняння стану (7.13) і вираз для оптимального управління (7.26). Обладнанням, що реалізує функцію сигнума , є релейний елемент (РЕ).