8.1. Поставлення задачі

 

Після визначення закону оптимального управління наступним кроком є вибір структури пристроїв управління та їх параметрів, тобто синтез автоматичних систем. При синтезі автоматичних систем може бути задана або не задана структура або деяка частина структури пристрою управління. Відповідно задача синтезу полягає у визначенні параметрів і структури пристроїв управління за необхідності. Спочатку синтез автоматичних систем здійснювався проектувальниками без якихось загальних формальних правил на основі досвіду й інженерної інтуїції. При цьому досить рідко вдавалося налаштувати автоматичні системи на оптимальний режим.

Уперше в СРСР єдині формальні правила для синтезу оптимальних автоматичних систем розробив А. М. Лєтов. Відповідний підхід названий аналітичним конструюванням регуляторів (АКР). За кордоном аналогічні основні роботи пов’язані з іменем Калмана.

Під аналітичним конструюванням регуляторів (АКР) розуміють проблему аналітичного знаходження алгоритму роботи пристрою управління замкненої системи, що забезпечує найкращу якість системи (на підставі загальних формальних правил) за рахунок визначення критерію якості, описуваного функціоналом, який фізично характеризує точність роботи системи й енергетичні витрати на управління.

Існує досить велика кількість задач АКР. Розглянемо деякі найбільш прості приклади.

Приклад 1. Нехай лінійний нестаціонарний об’єкт описується рівняннями стану

,                      (8.1)

,                                 (8.2)

де , ,  – матриці розміром ,  та  відповідно;

, ,  – -, - та -вимірні вектори стану, управління та виходу відповідно.

Нехай задано бажаний вихідний вектор . Необхідно при мінімальних витратах на управління  отримати реальний вихідний сигнал , близький до бажаного . Інакше кажучи, головними умовами в таких задачах є не тільки збіг реальних вихідних параметрів  із бажаними, але й мінімальність витрат на управління.

Відхилення реальних вихідних параметрів  від бажаних  називають помилкою управління .

.

Для якісної роботи проектованої системи необхідне виконання таких умов:

1) мінімальність помилки управління  у кінцевий момент часу ;

2) невеликі помилки управління  у процесі управління, ;

3) мінімальні витрати енергії на управління (мінімальна вартість управління).

Частіше для опису якості роботи системи використовується узагальнений критерій, що враховує ці вимоги:

 

,          (8.3)

де ,  – постійна та нестаціонарна додатно напіввизначені -матриці відповідно;

 – нестаціонарна додатно визначена -матриця.

Нагадаємо, що матриця називається додатно напіввизначеною, якщо вона симетрична  і при будь-якому ненульовому векторі   виконується нерівність . Якщо за тих самих умов виконується строга нерівність , то матриця  називається додатно визначеною.

Рекомендується вибирати матриці ,  і  діагональними, із елементами, пропорційними максимально допустимим значенням величин ,  та  відповідно. Тому АКР у цьому випадку називають синтезом оптимальних систем управління за квадратичним критерієм якості.

Таким чином, задача АКР полягає в пошуку такого управління  і відповідної йому траєкторії, при яких критерій якості  (8.3) досягає найменшого значення.

Така задача АКР називається задачею спостереження, тому що для неї необхідно, щоб реальний вихід  щонайкраще, з позиції критерію якості  (другий доданок у (8.3)), стежив за зміною бажаного вихідного сигналу .

Перевага задачі спостереження – висока точність спостереження поєднується з малими витратами на спостереження (третій доданок у (8.3)).

Приклад 2. Якщо в задачі спостереження , то таку задачу називають задачею про регулятор виходу, а критерій якості (8.3) набуває форми

 

.           (8.4)

Метою задачі про регулятор виходу є втримання вихідних координат об’єкта  поблизу нуля. Якщо початкове відхилення вихідних координат  від нуля велике, то управляючий пристрій повинен наблизити його до нуля й надалі втримувати близько до нуля, не витрачаючи багато енергії на управління.

Приклад 3. У ряді випадків важливо близьким до нуля втримувати не сигнал на виході ОУ, а всі компоненти вектора стану . Якщо , то задачу називають задачею про регулятор стану .

Критерій якості для задачі про регулятор стану має вигляд

 

.         (8.5)

Опис такої задачі аналогічний опису задачі про регулятор виходу, необхідно тільки замінити  на .

Приклад 4. Для стаціонарного лінійного об’єкта, який описується рівнянням стану

,                             (8.6)

критерій якості записується у вигляді

,          (8.7)

де , ,  та  – незалежні від часу матриці.

При цьому на управління  обмежень не накладено, а задається обмеження на кінцевий стан об’єкта у формі  (умова стійкості), яке еквівалентне асимптотичній стійкості проектованої системи.

Тоді задача зводиться до пошуку такого управління , під дією якого критерій (8.7) досягне найменшого значення при виконанні умови асимптотичної стійкості.

Розглянуті приклади задач АКР можна поширити й на нелінійні об’єкти.