8.2. Синтез регуляторів при жорстко заданій структурі

 

Як відзначалося вище (п. 8.1), при синтезі автоматичних систем проектувальником вибираються структура та параметри пристроїв управління. Зупинимося на найбільш простому випадку синтезу, якщо структура вже вибрана, а необхідно тільки підібрати її параметри.

Розглянемо одновимірний стаціонарний лінійний об’єкт, який описується рівняннями стану

,                 (8.8)

і включений у систему управління так, як показано на рис. 8.1.

 

Рисунок 8.1 – Схема автоматичного управління одновимірним стаціонарним лінійним об’єктом

 

Нехай передатна функція управляючого пристрою (УП)  задана, де  – вектор варіативних параметрів. Для стаціонарного одновимірного об’єкта квадратичний критерій якості (8.7) можна записати у вигляді

.                  (8.9)

Необхідно підібрати так варіативні параметри , щоб виконувалася умова

.                                      (8.10)

Визначимо складові  та  критерію якості (8.9).

Із рис. 8.1 видно, що сигнал неузгодженості (помилка регулювання)

,

,

.              (8.11)

Аналогічно знаходимо :

.   (8.12)

Передатну функцію ОУ  можна визначити з рівнянь стану (8.8), записавши їх в операторній формі

; .

,

де  – одинична матриця розмірності ;

,  та  – відповідні зображення.

Тоді передатна функція ОУ набуде вигляду

.

Із урахуванням того, що в критерії якості (8.9) використовуються функції часу , то для переходу з операторної форми скористаємося зворотним перетворенням Лапласа:

,

.

Тоді

 

.

Із прямого перетворення Лапласа  випливає, що

.  (8.13)

Вираз (8.13) називається формулою Парсеваля.

За аналогією

.  (8.14)

Інтеграли (8.13), (8.14) обчислюються за допомогою методів теорії функцій комплексного змінного та виражаються через коефіцієнти поліномів , ,  у такий спосіб. Подамо поліном  у вигляді

,

а добуток  у вигляді

.

Тоді інтеграл (8.13) можна обчислити за формулою

,                               (8.15)

де ; ,  – визначник і його елементи.

Визначник  виходить із визначника  заміною елементів першого стовпця величинами , , ..., .

Аналогічно обчислюється інтеграл (8.14).

Визначивши інтеграли (8.14) та (8.15), можна знайти критерій якості (8.9) як функцію від варіативних параметрів . Із умови мінімальності (8.10) критерію  за відсутності обмежень на  оптимальні параметри  визначаються з рівняння

.