8.3. Синтез регуляторів методом варіаційного обчислення

 

Розглянемо одновимірний стаціонарний об’єкт, описуваний рівняннями (8.8) і наведений у вигляді функціональної схеми рис. 8.2.

Нехай передатна функція ОУ  не задана. Необхідно знайти її так, щоб критерій якості (8.9) досягав мінімального значення, а система в цілому була фізично здійсненною (аналогічно стійкій). Для цього будемо вважати, що передатна функція  має нулі та полюси тільки в лівій півплощині*.

План розв’язання задачі такий: спочатку зв’яжемо критерій якості  з передатною функцією  для замкненої системи в цілому; потім знайдемо таку фізично здійсненну функцію , на якій критерій  досягає мінімуму, після чого, скориставшись зв’язком між  та , , обчислимо шукану функцію .

Запишемо передатну функцію  для замкненої системи. Із урахуванням того, що ,  та  (8.11), передатна функція  набуде вигляду

.                     (8.16)

 

 

*Будь-яку передатну функцію можна подати у вигляді відношення поліномів . Якщо чисельник прирівняти до нуля та знайти корені полінома, то ці корені називають полюсами; якщо знайти корені для чисельника, то вони називаються нулями. Щоб система була стійкою, необхідно, щоб полюси та нулі перебували в лівій півплощині. Знаючи полюси  та нулі , передатну функцію можна записати у вигляді .

Із (8.16) визначимо шукану функцію :

,

.

Звідки

.                   (8.17)

Із (8.17) видно, що для отримання кінцевого виразу передатної функції пристрою управління  необхідно знати тільки передатну функцію , при якій критерій якості  (8.9) набуває мінімального значення. Для цього знайдемо зв’язок між критерієм  та функцією . Оскільки , виразимо ,  через функцію  і, використовуючи формули Парсеваля (8.13), (8.14), запишемо вираз для критерію якості.

Підставивши  (8.16) та  (8.17) у вираз (8.11), отримаємо

 

;                        (8.18)

.

Використаємо формули Парсеваля (8.13), (8.14):

 

,

 

.

Із урахуванням цих виразів критерій  (8.9) набуде вигляду

 

.   (8.19)

Для мінімізації критерію якості  (8.19) візьмемо частинну похідну від підінтегральної функції (8.19) за змінною  і прирівняємо до нуля. У результаті цього виходить рівняння, подібне до рівнянн Ейлера.

На підставі (8.19) можна сформулювати теорему оптимізації: для того, щоб функціонал  (8.19) на функції , що задовольняє умови фізичного існування (полюси та нулі функції  перебувають у лівій півплощині), досягав екстремального значення, необхідно та достатньо, щоб частинна похідна від підінтегральної функції (8.19) за  мала тільки праві полюси.

Продиференціювавши підінтегральну функцію (8.19) за , отримаємо

,   (8.20)

де  – деяка функція, що має праві полюси.

Щоб (8.20) виконувалося при будь-яких аргументах , необхідно, щоб дотадок доданків ліворуч, що мають праві полюси, дорівнював функції , а сума доданків із лівими полюсами дорівнювала нулю. Розкладемо ліву частину (8.20) на доданки з лівими та правими полюсами:

 

,

 

.                               (8.21)

Далі введемо нову функцію

,                 (8.22)

де функція  має ліві особливі точки (полюси та нулі), а  – праві особливі точки. Перехід (8.22) називається факторизацією.

Підставивши (8.22) в (8.21), отримаємо

,

.  (8.23)

Із (8.23) видно, що перший доданок ліворуч має тільки ліві особливі точки, доданок праворуч – тільки праві особливі точки, а другий доданок ліворуч – і ліві, і праві особливі точки.

Подамо другий доданок ліворуч  у формі двох доданків, що мають тільки ліві (зі знаком «+») та тільки праві (зі знаком «-») особливі точки:

.    (8.24)

Така операція називається розщеплюванням.

Після проведення операції розщеплюванням (8.24) вираз (8.23) матиме вигляд

 

.                                  (8.25)

Оскільки функція праворуч має тільки праві полюси, то рівність (8.25) справедлива, якщо сума доданків ліворуч, що має ліві полюси, дорівнює нулю. Таким чином,

,

звідки випливає шуканий вираз для передатної функції замкненої системи

,          (8.26)

що має тільки ліві полюси, тобто відповідає умові фізичної здійсненності системи.

Знаючи функцію , на підставі (8.17) отримаємо вираз для шуканої передатної функції пристрою управління .