8.5. Аналітичне конструювання регуляторів за принципом максимуму

 

Розглянемо розв’язання задачі АКР за допомогою принципу максимуму Понтрягіна. Нехай лінійний нестаціонарний об’єкт описується рівнянням стану (8.1):

.

Необхідно визначити оптимальне управління, для якого критерій якості має вигляд (8.5):

.

Згідно з методикою розв’язання задач за принципом максимуму (див. п. 6.1), введемо нову змінну

 

,        (8.36)

що задовольняє умову , та змінну , обумовлену виразом (6.3): .

Відповідно до загальної ідеології методу пошук розв’язку починаємо зі складання функції Гамільтона (6.21) для модифікованого вектора стану :

 

,         (8.37)

де ; .

Компоненти , ,  функції  можна знайти з рівнянь (6.4), (8.1) та (6.3) відповідно.

У результаті підстановки (8.36) в (6.4) отримаємо

 

 

 

               (8.38)

за умови, що

,

де  – початковий стан об’єкта.

Для лінійного нестаціонарного об’єкта (8.1) . Надалі для компактності не будемо записувати залежність від часу . Тоді

.  (8.39)

Із урахуванням (8.39) та (8.1) функцію Гамільтона (8.37) перепишемо в такий спосіб:

 

.                          (8.40)

Оскільки на управління  обмежень не накладено, то оптимальне управління знаходимо з умови , яку можна записати в розгорнутій формі

,          (8.41)

.

Звідки випливає, що

.          (8.42)

Таким чином, для визначення оптимального управління  необхідно знати змінні  та . Як зазначалося в п. 6.3, компоненти вектора  можна знайти із системи сполучених рівнянь (6.26):

.

, оскільки ,  та  згідно з (6.4), (6.1) та (6.3) не залежать від змінної , а є функцією від змінних ,  та .

, ,

.

Із першого рівняння випливає, що .

Використовуючи граничну умову (6.15) , отримаємо, що . Оскільки , то , отже, останній доданок у другому й третьому рівняннях теж дорівнює нулю. Враховуючи, що у виразі для оптимального управління (8.42), крім , є вектор  з  компонентами, то для визначення компонентів ,  досить  рівнянь. Тоді систему сполучених рівнянь можна записати у вигляді

,      

або у векторній формі

.                  (8.43)

Знайдемо перший та другий доданки у (8.43) із урахуванням (8.39):

.

Із (8.1) випливає, що .

Тоді система сполучених рівнянь набуде вигляду

 

,                         (8.44)

де , оскільки .

Для лінійного об’єкта зв’язок між  та  також повинен бути лінійним. Для цього введемо поки що невідому матрицю  і запишемо, що

.     (8.45)

Із урахуванням (8.45) оптимальне управління , а систему (8.44) перепишемо у формі

 

,     (8.46)

де  можна визначити з рівняння стану (8.1):

 

.          (8.47)

У результаті підстановки виразу (8.47) в (8.46) отримаємо

 

 

.

Звідки випливає, що

 

.

У результаті отримаємо, що

.                (8.48)

Отримане рівняння (8.48) із точністю до знаків збігається з рівнянням Ріккаті (8.34).

Оскільки для задачі з вільним правим кінцем траєкторії та фіксованим часом  , то згідно з (8.45)  отримаємо граничну умову

.                               (8.49)

У результаті вираз для оптимального управління набуде вигляду

,

де  визначається з рівняння Ріккаті (8.48) при граничній умові (8.49).