10.1. СНС із еталонною моделлю

 

Застосування моделі в СНС дозволяє спростити структуру СНС. Залежно від призначення моделі СНС поділяються на два великі класи:

- СНС із еталонною моделлю;

- СНС із моделлю, що налаштовується.

Якщо вплив зовнішнього середовища на характеристики об’єкта відомий, а параметри УП змінюються за попередньо отриманими законами, то використовуються СНС із еталонною моделлю. У цьому випадку модель являє собою заданий еталон бажаних властивостей реальної системи, який не змінюється, якщо діапазон зміни параметрів впливу незначний. У протилежному випадку еталонна модель перебудовується, і для певного діапазону зміна параметрів залишається незмінною. При використанні еталонної моделі один із одним порівнюють не параметри та характеристики контуру ОУ+УП, а вихідні сигнали основного контуру системи та моделі.

У другому випадку модель спочатку визначає реальні характеристики системи, тобто ідентифікує систему управління, і порівнює з відомими параметрами моделі бажаної розімкнутої системи, налаштовуючись на характеристики реальної системи, а потім стабілізує або оптимізує властивості реальної системи, якщо вони змінюються в процесі подальшого функціонування системи.

Схема СНС із моделлю-еталоном, що відображає бажані властивості замкненої системи управління, зображена на        рис. 10.1.

Принцип роботи СНС із еталонною моделлю: сигнал неузгодженості  подається на вхід моделі М та на вхід ланцюжка УП+ОУ. На виході ОУ сигнал  порівнюється з вихідним сигналом моделі . Якщо вони не збігаються, то виробляється сигнал відхилення , який, впливаючи на ланцюг самоналаштування (ЛС), змінює параметри УП доти, поки вихідні сигнали моделі  та об’єкта управління  збіжаться.

Найбільш важливим етапом синтезу СНС із еталонною моделлю є розроблення алгоритму ЛС, щоб сигнал відхилення  був обмеженим і згодом прямував до нуля, що є ознакою стійкості СНС.

Найбільш універсальним для оцінки стійкості СНС є прямий метод Ляпунова: якщо система управління описується сукупністю рівнянь у відхиленнях у формі Коші ,  і можна підібрати таку знаковизначену функцію Ляпунова , від якої повна похідна в часі  в деякій області  є знакопостійною функцією протилежного знака функції , то функції , , ..., , будуть обмеженими, а система асимптотично стійкою.

Розглянемо застосування прямого методу Ляпунова для синтезу СНС другого порядку.

Нехай у розімкнутому стані (без моделі) реальна система управління описується рівнянням

,     (10.1)

де  та  – незмінні параметри ОУ;

 – коефіцієнт підсилення ОУ, що змінюється з часом;

 – коефіцієнт підсилення управляючого пристрою, який є його варіативним параметром УП.

Нехай рівняння моделі має аналогічний вигляд

.           (10.2)

Необхідно знайти такий процес зміни коефіцієнтів , який призведе до усунення неузгодженості  між вихідними сигналами ОУ  та моделі  та забезпечить асимптотичну стійкість. Синтезуємо таку СНС.

Якщо , то віднімемо з (10.2) (10.1). Отримаємо

,  (10.3)

де .

Запишемо (10.3) у формі Коші, позначивши ; .

Тоді рівняння (10.3) можна переписати у вигляді:

   або

.               (10.4)

Уведемо функцію Ляпунова  у формі квадратичної додатно визначеної функції змінних ,  і коефіцієнта :

.                   (10.5)

Знайдемо повну похідну за часом  від функції :

.     (10.6)

З урахуванням (10.4) вираз (10.6) можна записати так:

 

 

 

.             (10.7)

Щоб похідна  була від’ємно визначеною, необхідно, щоб , а  при будь-яких  та . Звідси випливає, що

.                         (10.8)

При , що змінюється повільно (система самоналаштовується швидше, ніж змінюються властивості ОУ), можна записати, що

,                        (10.9)

де  – відоме номінальне значення коефіцієнта підсилення ОУ;

 – складова, що повільно змінюється.

Підставивши в (10.8) вирази  та (10.9), отримаємо

.   (10.10)

Якщо, то другим доданком у лівій частині (10.10) можна знехтувати. Тоді  або

.

Звідси випливає вираз для варіативного параметра УП:

.                       (10.11)

Зобразимо структурну схему СНС другого порядку з моделлю (рис. 10.2).