12.2. Методи визначення градієнта

 

У градієнтних методах необхідно визначати градієнт функції . Якщо конкретний вигляд функції  відомий, то ці обчислення здійснюються аналітично, а потім результати використовуються в структурі алгоритмів пошуку екстремумів. Однак у багатьох задачах функція  в явному вигляді невідома, але можна вимірювати її значення. У цих випадках для знаходження  використовується або метод чисельного диференціювання, або метод синхронного детектування.

Метод чисельного диференціювання використовується для визначення градієнта, якщо аналітичний вираз для  не заданий.

Нехай відоме значення функції  у деякій точці, а аналітичний вираз для  невідомий. Додамо до змінної  приріст  і виміряємо значення  у точках  та . Для знаходження часткової похідної від функції  за аргументом  віднімемо із  значення  та поділимо на :

.    (12.18)

Потім здійснюють аналогічні вимірювання й обчислення для інших , , …,  і знаходять компоненти  для всіх .

Метод синхронного детектування також використовується для визначення градієнта , якщо аналітичний вираз для  невідомий.

Нехай є функція  змінних . Додамо приріст кожному її аргументу , . У результаті отримаємо функцію

. Позначимо через  добуток цієї функції на приріст аргументу :

,   (12.19)

.

Розкладемо функцію

 у ряд Тейлора:

 

.   (12.20)

Підставимо розкладання в ряд Тейлора (12.20) у вираз (12.19). Отримаємо:

 

,   .       (12.21)

Знайдемо середнє значення величини . Для цього процес  можна подати на обладнання, що виконує операцію усереднення, наприклад, фільтр :

,                          (12.22)

де  – час усереднення.

Після підстановки (12.21) у (12.22) отримаємо

 

.  (12.23)

Як пошукові сигнали , як правило, вибирають синусоїдальний (гармонійний) сигнал вигляду

                       (12.24)

із частотою , де .

Визначимо перший доданок у (12.23), підставивши в нього (12.24):

,

де .

Другий доданок* в (12.23):

          (12.25)

Третій доданок у (12.23)  (через громіздкість обчислень доказ не наводиться).

У результаті отримаємо, що при

,     .                   (12.26)

 

Із виразу (12.26) видно, що компоненти градієнта  будуть пропорційними середньому значенню :

 

.   (12.27)

Обладнання, що множить  на  та усереднює їх добуток, називається синхронним детектором (СД).

Схема визначення градієнта  методом синхронного детектування наведена на рис. 12.2.