Додаток Б

(довідковий)

 

РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ ГАМІЛЬТОНА-ЯКОБІ (7.16), (7.17)

 

Нехай об’єкт управління описується рівняннями стану (7.13):

,   ,   ,        (Б.1)

де управління  може задовольняти два значення: .

Спочатку приймемо .

Поділивши одне рівняння на інше, виключаємо змінну :

.                               (Б.2)

Проінтегруємо (Б.2):

,                 (Б.3)

де  – постійна інтегрування.

Таким чином, розв’язанню рівнянь стану (Б.1) відповідає сімейство парабол у фазовій площині , кожна з яких є фазовою траєкторією цієї системи (рис. Б.1).

 

Провівши аналогічні міркування при, отримаємо

.                         (Б.4)

Припустимо, що оптимальний рух фазової точки починається із точки  у початок координат  і відбувається спочатку за параболою із сімейства (Б.4) при  (рис. Б.2).

Оскільки точка  знаходиться на параболі, то для цієї точки можна записати, що

,

а парабола, що проходить через точку , визначається рівнянням

.                        (Б.5)

 

 

 

Для того щоб фазова точка потрапила в точку , припустимо, що після перетину параболи із сімейства (Б.3) при  подальший оптимальний рух відбувається по параболі

,                                (Б.6)

яка проходить через початок координат.

Позначимо точку перетину парабол .

Визначимо ординату  точки , підставивши (Б.6) в (Б.5):

,   .

Час руху фазової точки з  у  при  можна визначити з рівняння

,

після інтегрування якого отримаємо ;  .

Час руху фазової точки з  у початок координат  при  можна визначити з рівняння

.

Звідки випливає, що ;  .

Тоді повний час руху фазової точки

 

.                            (Б.7)

Якщо рух починається спочатку по параболі із сімейства (Б.3) при , а потім триває по параболі (Б.4) при, то, виконавши аналогічні операції, отримаємо вираз

.                       (Б.8)

Як видно з виразів (Б.7) та (Б.8), час руху фазової точки в початок координат залежить тільки від координат початкової точки. Оскільки за початкову точку може бути вибрана будь-яка точка фазової площини, обумовлена рівняннями стану (Б.1), то отримаємо вираз (7.18).

 

Навчальне видання

 

 

 

 

ОПТИМАЛЬНІ ТА АДАПТИВНІ СИСТЕМИ

Конспект лекцій

для студентів

спеціальності 7.05020101

«Комп’ютеризовані системи управління

 та автоматика»

денної та заочної форм навчання

 

 

 

Відповідальний за випуск  В.Д. Черв`яков

Редактор Т. Г. Чернишова

Комп’ютерне верстання С. В. Соколов

 

 

 

 

 

 

Підписано до друку 28.02.2012, поз. 4

Формат 6084/16. Ум.друк.арк.7,71. Обл.-вид.арк. 9,53. Тираж 100 пр. Зам. №

Собівартість видання        грн.         к.

 

 

 

 

 

 

Видавець і виготовлювач

Сумський державний університет

вул. Римського-Корсакова, 2, м.Суми, 40007

Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК №3062 від 17.12.2007.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

 

 

 

С. В. Соколов

 

 

 

 

ОПТИМАЛЬНІ ТА АДАПТИВНІ СИСТЕМИ

 

Конспект лекцій

для студентів

спеціальності 7.05020101

«Комп’ютеризовані системи управління

 та автоматика»

денної та заочної форм навчання

 

 

Затверджено

на засіданні кафедри

комп’ютерних наук

як конспект лекцій

з дисципліни «Оптимальні

 та адаптивні системи».

Протокол № 5  від  27.12.2011 р.

 

 

 

 

 

 

Суми

Сумський державний університет

2012