9.2  Елементи двійкової арифметики

 

Полем називається множина математичних об'єктів, для яких визначені операції додавання, віднімання, множення й ділення.

Розглянемо найпростіше поле з двох елементів 0 і 1. Визначимо для нього операції додавання і множення так:

 

0+0=0,

0+1=1,

1+0=1,

1+1=0;                    0*0=0,

0*1=0,

1*0=0,

1*1=1.

 

Визначені таким чином операції додавання та множення називають додаванням та множенням за модулем 2 (mod 2).

З рівності 1+1=0 випливає, що -1=1 та 1+1=1-1, а з рівності 1*1=1, що 1:1=1.

Алфавіт з двох символів 0 і 1 з означеними для них операціями додавання й множення за mod 2 називається двійковим полем GF(2). Для поля GF(2) застосовні усі методи лінійної алгебри, у тому числі матричні операції.

Операція додавання за mod 2, як правило, позначається символом , проте у подальшому у даному курсі розглядається тільки додавання за mod 2, тому використовується звичайний знак +.