12.1  Операції над поліномами в полі двійкових символів GF(2)

 

Сумою двох поліномів f(x) і g(x) в полі двійкових символів GF(2) називається поліном з GF(2), такий, що

 

,                                (3.12)

 

тобто додаванню двох поліномів з GF(2) відповідає операція додавання за mod 2 коефіцієнтів при однакових степенях х.

Наприклад:

                                                  x3 + x2 + 0∙x + 1

                                               +        x2 +  x  + 1

                                                 x3 + 0∙x2 + x + 0 = x3+x.

Добутком двох поліномів f(x) і g(x) в полі двійкових символів GF(2) називається поліном з GF(2), такий, що

,                                (3.13)

тобто добуток поліномів знаходиться за звичайним правилом множення степеневих функцій, причому коефіцієнти при одному степені х додаються за mod 2.

Наприклад:

                                                 x3 + x2 + 0∙x + 1

× x2 + x_______     _

                x4 + x3 +0x2 + x

                  + x5 + x4+ 0x3 + x2___

                     x5 +0x4 + x3 + x2 + x = x5 + x3 + x2 + x.

Ділення поліномів здійснюється за правилами ділення степеневих функцій, причому операція віднімання замінюється додаванням за mod 2 (додавання і віднімання за mod 2 збігаються).

Теорема.  Для кожної пари поліномів c(x) і d(x) (d(x)0) існує єдина пара поліномів, де  q(x) – частка, (x) - остача від ділення, таких, що

c(x)= q(x)d(x) + ρ(x),                                        (3.14)

               

Наприклад:

 x4 +0x3 + x2 + x + 1    x + 1

+ x4 + x3_                                   x3 + x2 + 1

         x3  + x2  + x + 1

      + x3  + x2_______ 

                        x + 1

                      +x + 1 

                                      0 – остача ρ(x).