12.5  Твірна і перевірна матриці циклічного коду

 

Подамо кодове слово циклічного (k, n)- коду таким чином:

 

u(x)= ρ(x) + xn-km(x),                             (3.29)

 

де ρ(x) – остача від ділення многочлена xn-km(x) на твірний поліном коду g(x).

Твірна матриця циклічного коду складається з двох частин: перевірної підматриці Pk×(n-k) розмірністю k×(n-k), що визначається поліномами остачі ρ(x) від ділення кодового многочлена xn-km(x) на твірний поліном коду g(x) та одиничної підматриці Ik×k розмірністю k×k, що відповідає інформаційній частині кодової послідовності.

Для побудови твірної матриці циклічного коду беруться тільки ті з комбінацій інформаційних послідовностей mi(x), де i=1 .. k, що мають одиницю тільки в одному розряді. Ці комбінації помножують на xn-k і знаходять остачі від їх ділення на твірний поліном коду

 

,                                              (3.30)

 

їм відповідні (n-k-1) - послідовності будуть рядками перевірної частини Pk×(n-k) твірної матриці коду.

Твірна матриця циклічного коду складається з k лінійно незалежних кодових комбінацій, решта 2k-k-1 кодових комбінацій, окрім нульової, знаходиться порозрядним додаванням за mod 2 усіх пар кодових слів, що утворюють твірну матрицю коду.

Приклад  Для циклічного (4, 7)- коду, заданого твірним поліномом g(x)=1+x2+x3, побудувати твірну матрицю.

Запишемо чотириментні одиничні комбінації інформаційних повідомлень mi(x): (1000)  m1(x)= 1; (0100)  m2(x)= x; (0010)  m3(x)= x2; (0001)  m4(x)= x3.

Помножимо кожну з них на x3 (кількість перевірних символів r=n-k=7-4=3) і розділимо на твірний поліном коду g(x)= x3+x2+1.

Поліноми остач від ділення (x) мають степінь n-k-1=2, на одиницю менший за степінь дільника, і будуть такими:

1)  1x3           x3+x2+1

   + x3+x2+1    1     

            x2+1,         

ρ1(x)= 1 + x2  (101);

                2)  x∙x3           x3+x2+1

        + x4 + x3 + x           x+1

                    x3 + x

     + x3 + x2 + 1

                             x2 + x +1,

ρ2(x)= 1+ x + x2 (111);

3)  x2∙x3               x3+x2+1

   + x5 + x4 + x2     x2+x+1

             x4 + x2

          + x4 + x3 + x

                     x3 + x2 + x

          + x3 + x2 + 1___

                    x + 1,

ρ3(x)= 1+ x  (110);             4)  x3∙x3               x3+x2+1

        + x6 + x5 + x3     x3+x2+x

                   x5 + x3

                + x5 + x4 +  x2

                           x4 + x3 + x2

                            + x4 + x3 + x___

                                 x2 + x,

ρ4(x)= x + x2  (011).

Твірна матриця матиме вигляд

.

 

Відповідно перевірна матриця матиме вигляд

.

 

 

З перевірної матриці випливає система перевірних рівнянь коду

 

                Кодові слова даного циклічного (4,7)-коду утворюються так: 

u= (0, 1, 2, m0, m1, m2, m3).