2.3.1 Математичне моделювання

 

При математичному моделюванні машину умовно розглядають як якийсь перетворювач А параметрів її технічного стану хi (величини зазорів, натягу, перекіс осей і тому подібне) в параметри вібрації уi (рівень і спектральний склад виброзсуву, віброшвидкості, віброприскорення і тому подібне), що виникає при її функціонуванні:

                                                                       (2.1)

де {Y}=(у1, у2...yn) – вектор діагностичних ознак розмірністю n складений з параметрів вібрації уі, які використовуються  при діагностуванні і названі тому діагностичними ознаками;

{Х}=(х1, х2...хn) – вектор структурних параметрів, розмірність якого n визначається кількістю параметрів технічного стану хі,  які виявляються у процесі діагностування.

Розмірності n і m у загальному випадку не рівні між собою, причому діагностування можливе лише при виконанні умови n > m.

Задача вібродіагностики полягає в побудові залежності, зворотньої формулі (2.1)

                                                                        (2.2)

У простому випадку залежність (2.2) може бути функціональною:

 

,                                                          (2.3)

 

конкретний вид якої встановлюється в період навчання, передуючий етапу встановлення діагнозу. Цю функцію або систему функцій можна розглядати як відображення простору технічних станів, заданого координатами х1, х2,...,.хn, в простір діагностичних ознак з координатами у1, у2,..,yn. При цьому виникає і становить особливий інтерес питання однозначності цього відображення.

Якщо кожному з параметрів стану хі вдається поставити у відповідність тільки одну характерну діагностичну ознаку уі, то система (2.3) розпадається на m незалежних співвідношень вигляду

 

,                                                                      (2.4)

причому n=m. Діагностичні ознаки в цьому випадку вибираються |із |з фізичних міркувань на основі математичного моделювання динаміки машини.

При побудові моделі розглядаються лише істотні властивості машини, виключно важливі для встановлення  діагнозу. Заміна реальних пристроїв їх моделями, що ідеалізуються, дозволяють відмовитися від їх фізичної природи і за допомогою різних математичних методів формалізувати вирішення діагностичних задач.

Діагностичні моделі розглядають, як правило, як моделі, представлені у вигляді системи алгебраїчних рівнянь і диференціальних рівнянь, феноменологічних моделей, логічних співвідношень, функціональних, структурних, регресійних та інших типів моделей.

Вибір того або іншого типу моделі залежить від цілого ряду чинників (умови експлуатації машини, конструктивного виконання, частотний діапазон вібрацій, що генеруються нею, і тому подібне). Розрахункова модель (схема) складається з урахуванням найбільш істотних властивостей машини, що визначають її динамічну поведінку.

Розглянемо, наприклад, роторну машину масою М (рис. 1.1), ротор якої обертається з кутовою швидкістю. Машина встановлена на податливій підставі, жорсткість якої дорівнює с. При деформації підстави в ньому виникають сили опору, пропорційні швидкості деформації  ; коефіцієнт пропорційності позначений через b. Машина може переміщатися тільки у напрямі осі X, маючи одну міру свободи. Узагальнена координата х відлічується від положення статичної рівноваги. Передбачається, що центр інерції ротора зміщений щодо осі обертання на величину e (ексцентриситет). Маса ротора  .

Тоді, склавши рівняння Лагранжа, отримаємо

 

                                                                       (2.5)

або

,                                               (2.6)

де  – власна частота системи, а .

 

Сила  , що в цьому випадку вимушує коливання,  є проекцією відцентрової сили ротора на вісь X.

Амплітуда коливань машини відповідно до розв’язання рівняння (2.6) дорівнює

.                                                    (2.7)

 

Графік залежності побудований на рис. 2.4. Як правило, потрібно зробити амплітуду коливань машини як можна меншою. З графіка видно, що для цього досить забезпечити виконання умови, тобто домогтися того, щоб власна частота системи була значно більшою за кутову швидкість ротора. Якщо ця умова виконується, то говорять, що машина працює в дорезонансному режимі. Якщо дорезонансний режим неможливий, необхідно, щоб машина працювала в зарезонансному режимі, при якому   >>    .

Зменшити значення А можна зменшенням маси ротора , зменшенням ексцентриситету, тобто підвищенням точності балансування, збільшенням маси всієї машини. Зменшення маси ротора і підвищення точності балансування, природно, можливі на практиці лише в обмежених межах. Найбільш простий спосіб зменшення амплітуди — збільшення маси М, для цього, як правило, машину сполучають з масивним фундаментом. При розгоні ротора машина, що працює в зарезонансному режимі, неминуче проходить через область резонансу, в якій . Щоб при цьому в системі не розвивалися резонансні коливання, прагнуть прискорити проходження через резонанс, збільшуючи для цього потужність двигуна.

Вплив шуканого дефекту на параметри машини як динамічної системи дуже багатогранний. У одних випадках дефект змінює характер збурення G, в інших - робить вплив на матриці жорсткості, демпфірування і інерції. Тому в конструкції реальної машини параметри елементів системи можуть відрізнятися від розрахункових значень і змінюватися у процесі експлуатації і із зміною технічного стану. Тому у вібродіагностиці існує необхідність аналізу впливу зміни технічного стану на зміну параметрів системи аналітичним шляхом, тобто на основі відомої математичної моделі.

Для вирішення даного завдання використовують методи теорії чутливості. Рівняння стану системи має вигляд

,                                                                      (2.8)

де  – вектори прискорення, швидкості і переміщення системи розмірності n;

 – вектор структурних параметрів системи розмірності r.

 

У результаті ряду перетворень визначають функції

,                                                                      (2.9)

які характеризують вплив структурного параметра вектора q на координату (діагностична ознака) вектора системи. Ці функції мають назву функцій чутливості (або впливу), вираз

є рівнянням чутливості,    а     система      таких     рівнянь   – моделлю чутливості.

Розв’язання отриманих рівнянь – функції чутливості. Рівняння чутливості лінійні навіть у разі нелінійності початкового рівняння стану. Для вібродіагностики найбільш очевидним є спосіб оцінки змін структурних параметрів конструкції на відхилення діагностичних ознак ( компонент вектора фазових координат : амплітуд виброприскорення, віброшвидкості або вібропереміщення), оскільки будь-які зміни конструктивних пружно-інерційних параметрів неминуче позначаться на амплітудно-частотній характеристиці системи.

Ефективність залежить від показників точності вимірювання компонент вектора фазових координат і від абсолютного значення чутливості їх зміни до зміни конструктивних параметрів.

Якщо динамічний стан системи описується векторно-матричним диференціальним рівнянням, то будують векторно-матричне рівняння чутливості. Матриці чутливості дозволяють визначати чутливі і інваріантні до вектора стану параметри. Ця інформація встановлює, які параметри найбільшою мірою визначає вібраційну картину машини. Відзначимо, що матриця чутливості дозволяє значно спростити модель конструкції, що діагностується, залишивши в моделі лише ті параметри, які найбільшою мірою визначають вібраційний стан системи.

 Інший спосіб полягає в оцінці зміни параметрів технічного стану конструкції за заданими функціях чутливості і відносно невеликим зміщенні спектром власних частот. Для вирішення поставленої задачізадачі необхідно визначити функції чутливості до зміни власних частот системи, тобто

                                               (2.10)

де     – функція чутливості;

 – власна частота системи;

 – параметр системи.

 

Далі проводиться оцінка параметричних змін, оскільки вектор власних частот є функцією параметрів системи. Тобто за невеликим (близько 10%) експериментально виміряним зсувом вектора власних частот конструкції можна оцінити зміну вектора параметрів математичної моделі, визначивши заздалегідь матрицю чутливості.

Для розроблення математичних моделей елементів машинних конструкцій, що характеризуються розподіленими і зосередженими параметрами, застосовуються алгоритми інтегральної| і параметричноі ідентифікації. У першому випадку модель подається у вигляді передавальної функції, а в другому – у вигляді диференціальних рівнянь у частинних похідних. Моделювання дефектних станів здійснюється на основі розрахунку динамічних характеристик за допомогою методу кінцевих елементів.

При цьому дефект інтерпретується зміною параметрів кінцевих елементів або розривом зв'язків між відповідними кінцевими елементами. Динаміку конструкцій можна досліджувати як в лінійній, так і в нелінійній постановці.

Розроблення досконаліших розрахункових моделей пов'язане із застосуванням методів теорії коливань. У цій теорії, окрім класичних задач про вільні та вимушені коливання лінійних систем з одним, двома і більше ступенями вільності, розглядаються задачі  коливання систем з розподіленими параметрами, методи визначення критичних параметрів таких систем, наближені методи визначення частот коливань різних пружних  об'єктів і т.ін.

У ряді випадків, грунтуючись на тому, що технічний стан машини, а отже, і її вібрація залежать від багатьох чинників, пропонується будувати модель багатогранної залежності функції відгуку (характеристики параметра вібрації уj) від параметрів технічного стану хi. При цьому доводиться розв’язувати задачу множинного регресійного аналізу.

При навчанні системи діагностики інженер-діагност реєструє діагностичні ознаки і величини структурних параметрів, що характеризують технічний стан машини. У результаті навчання утворюється матриця результатів спостережень

 

            ,           (2.11)

 

де    n – кількість дослідів;

p – число чинників;

xij – значение j -го чинника для i - го досліду;

yi – значення функції відгуку для i -го досліду.

Завдання множинного регресійного аналізу полягає в побудові такого рівняння площини в (p+1)-вимірному просторі, відхилення результатів спостережень yi від якої були б мінімальними. Або, іншими словами, необхідно обчислити значення коефіцієнтів b0, bj у лінійному поліномі

 

,           (2.12)

що рівнозначно мінімізації виразу

(2.13)

де   – обчислювані, передбачувані, вирівнювані значення досліджуваної  характеристики.

Для відшукання мінімуму виразу (2.13) необхідно знайти часні похідні за  всіма невідомими b0, b1, b2 .., bj .bp і прирівняти їх до нуля. Отримані рівняння утворюють систему нормальних рівнянь. У результаті проведення всіх цих операцій отримуємо поліном першого ступеня (2.14) з відомими коефіцієнтами b0, bj. Цей поліном є апроксимацією функції

                           (2.14)

вид якої невідом.

Вже при n > 20 і p >3 розрахунки коефіцієнтів рівняння регресії вручну  дуже трудоемкі, тому процедура чисельного регресійного аналізу орієнтована головним чином на застосування комп'ютерів.

Теоретично точність апроксимації можна підвищити, підвищуючи ступінь полінома, однак, для поліномів високих ступенів при проведенні матричних операцій накопичуються настільки значні похибки округлення, що  стає неможливим підвищувати точність обчислень. На практиці, як правило, обмежуються побудовою полінома другого порядку і проведенням крокового регресійного аналізу з включенням або виключенням змінних.

Розроблення регресійної моделі може бути виправдане при діагностуванні унікальних одиничних виробів. У разі ж масового серійного виробництва, наприклад, в насособудуванні, даний підхід до побудови діагностичної моделі не можна визнати доцільним. Тут потрібний інший підхід, що базується на аналізі загальних закономірностей, що пов'язують структурні і діагностичні параметри.

У зв'язку з цим становить інтерес структурно-досдідна модель, що дозволяє виявляти, з одного боку, закономірні зв'язки між діагностичними і структурними параметрами незалежно від типу механізму і, з іншого боку, звертати увагу на ті або інші особливості, характерні для даного типу механізму.

Подібна модель, що подається у вигляді діагностичної таблиці несправностей (табл.2.1 і структурна блок-схема (рис.2.5)).

Ці таблиці і схеми складаються на основі зіставлення тих або інших дефектів, що виявляються при ремонті машини, з параметрами вібрації, що передували її зупинці на ремонт.

 

 

 

 

Таблиця 2.1- Діагностична таблиця несправностей підшипника кочення