2.1 Елементи теорії пружності

 

Відомості про механічні властивості твердих тіл важливі для розуміння багатьох фізичних явищ у твердих тілах – теплоємність, теплопровідність, термічне розширення, електропровідність та ін.

Деформація твердого тіла — це зміна розташування атомів чи молекул, яка приводить до зміни розмірів і форми твердого тіла. Деформації можуть виникати у результаті нагрівання, дії механічних сил, а також дії магнітних (магнітострикція) і електричних (електрострикція) полів. Деформація називається пружною, якщо вона зникає після зняття навантаження, що її спричиняє. Коли ж деформація не зникає при знятті навантаження, то вона називається пластичною. Найбільш простими видами деформацій твердих тіл є розтяг (стиск), зсув (зріз), згин і кручення.

Коли на тверде тіло діють зовнішні сили, що зумовлюють зміну відстаней між атомами, то таке тіло перебуває в напруженому стані. На будь-який елемент об'єму напруженого тіла діють два типи сил: об'ємні сили, які діють на всі частини елемента твердого тіла та пропорційні об'єму і поверхневі сили, які діють на поверхню елемента та пропорційні площі поверхні елемента. Сила, віднесена до одиниці площі поверхні елемента, називається напруженням:

,

де F – повна сила, прикладена до елемента; S – площа поперечного перерізу.

Під дією напруження форма твердого тіла змінюється. Якщо напруження менше від певного граничного значення, яке називається границею пружності, то деформація оборотна, оскільки при знятті напруження тіло набуває початкової форми. Припустимо, для прикладу, що на ізотропний твердий стрижень діє нормальне напруження . Тоді згідно із законом Гука, поздовжня відносна деформація ( - приріст довжини; l - початкова довжина) пропорційна нормальному напруженню  (рис. 2.1):

 

,

 

де s - коефіцієнт пружної піддатливості, або просто піддатливість, для конкретної системи напружень і заданого напряму деформацій. Закон Гука можна записати і так:

, ,

де с — константа пружної жорсткості, або просто жорсткість. Оскільки s і с характеризують пружні властивості твердих тіл, їх ще називають коефіцієнтами пружності. Для твердих тіл чим більше с, тим твердіший кристал, а чим більше s, тим кристал піддатливіший, тобто легше піддається механічній деформації.

 

На ділянці ОА (рис.1.2) деформація пружна. При перевищенні границі пружності деформація стає незворотною; при зменшенні напруження (від точки В) процес проходитиме по ділянці ВС. При цьому залишкова деформація ОС буде пластичною.

Для анізотропних твердих тіл напруження (рис. 2.2) і деформація - тензорні величини, і кожна компонента тензора деформації пов'язана з кожною компонентою тензора напруження співвідношенням, наведеним вище. Це, у свою чергу, означає, що коефіцієнти пружності с і s є тензорами четвертого рангу. З урахуванням цього закон Гука в найбільш загальному випадку можна записати так:

 

, .

 

Кожне з цих рівнянь заміняє дев'ять рівнянь, в кожному з яких справа стоять дев'ять членів. Всього є 81 коефіцієнт  чи . З першого рівняння видно, що якщо до тіла прикладено тільки одну компоненту напруження, наприклад , то відмінними від нуля можуть бути всі компоненти деформації, а не тільки . З цього випливає, що якщо прямокутний стрижень, вирізаний із кристала, піддати одновісьовому розтягу паралельно чотирьом його ребрам, то стрижень не тільки видовжуватиметься в напрямі розтягу, а й зазнаватиме зсуву. При цьому всі кути між ребрами стають відмінними від прямих.

 

Пружні властивості кристалів істотно залежать від їхньої симетрії, причому з підвищенням симетрії кристала значно скорочується число незалежних компонентів тензора коефіцієнтів пружності. Наприклад, матриця констант пружної жорсткості для кристалів кубічної сингонії та для ізотропного матеріалу [9]:

.

Для однорідних ізотропних твердих тіл , а це означає, що для таких тіл існує тільки дві незалежні константи пружної жорсткості  та , які називають сталими Ляме:

, .

Описуючи пружні властивості як ізотропних, так і анізотропних середовищ, крім сталих Ляме, використовують ще чотири пружні сталі: модуль Юнга Е, коефіцієнт Пуассона , об'ємний модуль пружності (модуль всестороннього стиску) К і модуль зсуву G. Модуль Юнга характеризує пружні властивості середовища в певному напрямі. Для лінійного напруженого стану модуль Юнга дорівнює відношенню нормального напруження  до стосовного видовження , спричиненого цим напруженням у напрямі його дії, тобто . Для пружних тіл модуль пружності Е характеризує здатність матеріалів проти¬діяти деформації розтягу.

Коефіцієнт Пуассона визначається як відношення деформації поперечного звуження (розширення)  до деформації поздовжнього видовження (стиску) , що зумовлюється механічним напруженням, тобто . Експериментально встановлено (таблиця 2.1), що коефіцієнт Пуассона лежить в діапазоні від 0,25 до 0,5.

Якщо тверде тіло зазнає гідростатичного стиснення, то в ньому є об'ємний напружений стан, що характеризується напруженнями . Відношення нормального напруження до стосовного об'єбагато стиску, спричиненого цим напруженням, називається об'ємним модулем пружності

,

де  - відносна зміна об'єму. Об'ємниий модуль пружності характеризує здатність матеріалу протидіяти зміні його об'єму без зміни форми.

 

Таблиця 2.1 - Модулі пружності, зсуву і коефіцієнти  

                        Пуассона для деяких твердих тіл [10]

 

Матеріал             Е∙10-10, Па          G∙10-10, Па        

Залізо    21           5,3—8,6                0,28

Алюміній             6,9          2,6-2,7   0,32-0,36

Мідь      11,0        4,0          0,31-0,34

Свинець               1,7          0,7          0,42

Цинк      8,4          3,2          0,27

 

Модуль зсуву G визначає здатність матеріалу протидіяти зміні форми тіла при збереженні його об'єму G=c44.

Зауважимо, що пружні сталі залежать від хімічної будови речовини, чистоти її складу, від температури тощо.

У твердому тілі атоми при будь-якій температурі (і при Т0К) неперервно коливаються поблизу їх середнього положення рівноваги. При незначних температурах їх можна вважати гармонічними. Якщо до пружного твердого тіла прикласти зовнішнє навантаження, то в ньому виникають деформації різного типу, що супроводжуються відповідними зміщеннями атомів або молекул із рівноважного положення. Збудження коливань одного із атомів передається найближчим сусідям і т. д. Виникає процес, подібний до процесу поширення звукових хвиль у твердому тілі. Пружні (звукові) хвилі можуть бути як поперечними, так і поздовжніми, тому процес поширення пружних хвиль у кристалах складніший за процес поширення електромагнітних хвиль (завжди поперечних).

Теорія коливань атомів тривимірного кристала складна, тому спочатку розглянемо поширення пружних хвиль у кристалах без урахування їх дискретної структури. На початку XIX століття була створена континуальна теорія пружності (див. [11]), яка розглядає тверде тіло як неперервне середовище (континуум). Точки такого середовища характеризуються координатними векторами . Вектор зміщення точок середовища , де  - радіус-вектор даної точки за відсутності зміщення. Рівняння руху елементів пружного ізотропного середовища записують рівнянням Ньютона , де  - густина;  - повна сила, що діє на елемент об’єму. Оскільки деформації малі, то й основні рухи елемента тіла, які називають пружними коливаннями або хвилями, малі. Для такого ізотропного середовища рівняння руху можна записати у вигляді одновимірних хвильових рівнянь:

, ,

де параметри vl і vt - це швидкості поширення поздовжніх і поперечних хвиль у пружному середовищі.

 

,.

 

Оскільки значення швидкостей звуку залежать від відповідних модулів пружності, то, вимірюючи швидкості звуку в твердих тілах і знаючи густину тіла, можна визначити пружні сталі твердих тіл. Усереднене значення швидкості звуку  пов’язане з  та  співвідношенням .

Повне розв’язання хвильового рівняння для плоских хвиль шукають у вигляді

 

,

 

де  - частота,  - хвильовий вектор.

Не наводячи обчислення, можна відмітити їх основні результати:

для кожного напрямку поширення існують три нормальні хвилі;

закони дисперсії для них лінійні: ;

в ізотропному середовищі та для напрямку <100> в кубічних кристалах одна із нормальних хвиль – поздовжня ( паралельне ) з фазовою швидкістю , а дві інші – поперечні ( і   перпендикулярні до ) з однаковими швидкостями  та взаємно перпендикулярними поляризаціями. В усіх інших кристалах ці три хвилі комбіновані (не чисто поздовжні і не чисто поперечні). Важливо відмітити, що в рамках континуальної теорії пружності хвильові числа  і частоти  пружних хвиль є неперервні і необмежені величини.