2.3 Елементи квантової теорії пружних хвиль у кристалі

 

Детальне вивчення коливань мікроскопічних об’єктів (атомів, іонів) у кристалічній решітці потребує застосування уявлень і методів квантової теорії. Але результати класичної теорії Борна-Кармана переважно виявились справедливими. Застосування квантових уявлень привело лише до двох нових результатів: можливості трактування пружних хвиль як квазічастинок і урахування нульових коливань.

Відповідно до принципу корпускулярно-хвильового дуалізму - одного із фундаментальних принципів квантової теорії і взагалі сучасної фізики – будь-які коливання чи хвилі одночасно є частинками, а будь-які частинки – хвилями. Частинки (точніше квазічастинки), що відповідають пружним коливанням кристалічної решітки, назвали фононами. Їх імпульс (точніше квазіімпульс)

 

,

де  - квазіхвильовий вектор, а енергія .

Приставка «квазі» пов’язана з тим, що і хвильовий вектор, і імпульс задані лише в першій зоні Бриллюена, і сам  не є імпульсом ні з позицій ньютонівської, ні з позицій квантової механіки.

Фонони є носіями енергії звукових хвиль (фононом також називається квант теплової енергії ). У таблиці 2.2 наведено основні відмінності між частинками і квазічастинками.

Магнітний момент і спін фонона дорівнюють нулю. Частинки (чи квазічастинки) з нульовим спіном підпорядковуються статистиці Бозе-Ейнштейна і є бозонами [13]. Відповідно до цієї статистики середнє число частинок (чи квазічастинок), що знаходяться у рівновазі при температурі Т в стані , становить

 

,

 

Таблиця 2.2 - Характеритики частинок і  квазічастинок

 

Ознака  Виконання ознаки для

                частинки              квазічастинки

Виконується закон збереження енергії

                Так         Так

Виконується закон збереження імпульсу

                Так         Не завжди

Існують у кристалі

                Так         Так

Існують у вакуумі

                Так         Ні

Утворюють атоми, молекули і речовину

                Так         Ні

 

де  - номер гілки (однієї із 3p гілок) пружних хвиль;  - хімічний потенціал, який можна знайти із умови, що повне число частинок  дорівнює заданій величині. Якщо це число, як у випадку фононів, не є фіксованим, то  [14], і тоді середнє число фононів у даному стані в рівновазі

 

.                                              (2.6)

 

 

Поряд з рівноважними фононами, які ми розглядали, в твердому тілі можуть існувати нерівноважні фонони, збуджені зовнішнім механічним впливом чи електромагнітними полями (рис. 2.5). І хоча повне число нерівноважних фононів, як правило, мале, амплітуди відповідних їм хвиль можуть бути великими.

Нормальні моди (хвилі або коливання з певною частотою) кристалічної решітки можна вважати гармонічними осциляторами. Відповідно до квантової механіки [13] енергія гармонічного осцилятора

,

 

де n – число фононів з хвильовим вектором  на певній гілці.

При Т=0К фононів немає (n=0) і  - енергії нульових коливань.

Незважаючи на деяку штучність поняття квазічастинок, введення їх у розгляд (метод квазічастинок) значно спрощує вирішення багатьох питань і задач фізики твердого тіла. Наприклад, введення фононів дозволяє у багатьох випадках розглядати тверде тіло як ящик, в якому вміщується газ фононів [9]. Газ фононів має незвичайні властивості: фононів тим більше, чим вища температура, а при наближенні до Т=0К їх число прямує до нуля.

На сьогодні засобом експериментального спостереження хвиль у решітці є непружне розсіяння теплових нейтронів на фононах.