3.2. Функція Блоха, теорема Блоха

 

Найчастіше для вибору функції  при розв'язуванні одноелектронної задачі використовують стан електрона, що перебуває у потенціальному полі іонів, заряд яких у середньому скомпенсований зарядом валентних електронів. З характеристик кристалічного стану випливає, що цей потенціал періодичний, тобто потенціал  має тривимірну періодичність решітки. Як відомо, в ідеальному кристалі атоми розміщені періодично в просторі. Це означає, що існує вектор , при зміщенні кристала на який кристал суміщається сам із собою. Отже, точки кристала з радіусами- векторами  та  є фізично еквівалентними, тому

.

Останнє співвідношення виражає умову періодичності потенціального поля кристала.

Якщо хвильова функція електрона  є невиродженою, то в періодичному полі кристала вона відрізняється від хвильової функції  тільки постійним множником, тобто

.

З умови нормування хвильової функції випливає, що

|С|2=1,  

а отже, множник C можна подати у вигляді

,

оскільки квадрат модуля цієї величини дорівнює одиниці.

В останньому виразі  - постійний вектор, який характеризує квантовий стан електрона у кристалі. Його називають хвильовим вектором - , він має розмірність оберненої довжини, тому добуток  є безрозмірним.

З  останніх рівнянь випливає, що

.               (3.3)

Отже, стаціонарна хвильова функція електрона у періодичному полі кристала залежить від хвильового вектора і має вигляд

,               (3.4)

де  - плоска хвиля, що поширюється в напрямі вектора ; а  - певна функція координат, яка не залежить від хвильового вектора  і є періодичною з періодом решітки. Функції виду  називають функціями Блоха, а періодичність її амплітуди - теоремою Блоха.

Підставивши (3.4) в (3.1), дістанемо

,               (3.5)

а, відтак, енергія електрона в кристалі повинна залежати від хвильового вектора , тобто Е=Е(). Отже, розв'язком рівняння Шредінгера для електрона в періодичному полі кристала є біжуча плоска хвиля, модульована з періодом решітки, а енергія електрона залежить від хвильового вектора .

Це означає, що для того, щоб отримати фундаментальні результати теорії, немає потреби знати числові значення силового поля (які неможливо визначити), досить знати, що воно є періодичним, а його періоди збігаються з періодами решітки.

Порівняно з хвильовим вектором вільних електронів вектор , який характеризує стан хвильової функції в кристалі, має певні особливості. Одна з них виражається співвідношенням (3.3) і полягає у тому, що зміщення на вектор кристалічної решітки  зводиться до множення хвильової функції на . Інша важлива особливість хвильового вектора полягає в тому, що до довільного вектора , який характеризує стан електрона в кристалі, можна додати довільний вектор оберненої решітки , причому така зміна  не приводить до зміни стану електрона. З цього випливає, що вектор  визначається з точністю до вектора оберненої решітки , а стани електрона з  та + є еквівалентними. Оскільки вектор  визначений не зовсім однозначно, він набуває властивостей, які відрізняють його від хвильового вектора вільних електронів. З цієї причини  називають не хвильовим вектором, а квазіхвильовим вектором. Відповідно пов'язаний з ним імпульс = називають квазіімпульсом, а частинки, що рухаються в кристалах і описуються векторами , називають квазічастинками.

Вектор  визначений з точністю до вектора , тому довільну функцію, що описує кристал, можна перевести у довільну (звичайно першу) зону Бриллюена. Така процедура називається зведенням до першої зони Бриллюена. Перевага схеми зведених зон полягає в тому, що аналіз поведінки певної функції достатньо провести тільки в одній зоні.