3.4 Енергетичний спектр електронів у кристалі. Модель Кроніга-Пенні

 

Для знаходження енергетичного спектра електронів у кристалі необхідно розв’язати одноелектронне рівняння Шредінгера (3.2) з періодичним потенціалом решітки . Власні функції і власні значення цього рівняння  значною мірою залежать від виду періодичного потенціалу. Точний розв’язок рівняння Шредінгера можна знайти, коли потенціал має вигляд послідовних прямокутних бар’єрів (модель Кроніга-Пенні). Розглянемо елементи моделі на прикладі одновимірного кристала, в якому його потенціальне поле для простоти замінюється лінійним періодичним ланцюжком потенціальних бар’єрів шириною b, що чергуються з прямокутними потенціальними ямами шириною а. Період такої решітки a+b (рис. 3.4). Висота кожного бар’єра .

Рівняння руху електрона в такому кристалі також описується рівнянням Шредінгера

 

                         ,         

 

де  - хвильова функція електрона;  - стала Дірака (h- стала Планка).

Розв’язок даного рівняння будемо шукати  у вигляді функції Блоха , де  - функція координат, яка не залежить від хвильового вектора  і є періодичною з періодом решітки, тобто

.

 

Після підстановки функції Блоха рівняння Шредінгера набуде вигляду

 

.

 

Розглянемо три області і для кожної запишемо рівняння Шредінгера.

Область 1. (0а, U(x)=0):

 

,

 

, де .  (3.6)

 

Розв’язок (3.6) можна записати так:

                ; .          (3.7)

Область 2. :

 

,

 

, де .  (3.8)

Розв’язок (3.8) має такий вигляд:

 

.                (3.9)

                Область 3.  фізично еквівалентна області 1 і тому для обчислення  необхідно скористатися теоремою Блоха, згідно з якою хвильова функція, як і періодичний потенціал, задовольняють умови періодичності.

Для обчислення сталих інтегрування А, В, С і D необхідно скористатися граничними умовами та умовою неперервності  та її першої похідної, тобто роз’язати систему рівнянь:

 

 

У загальній формі її можна записати як систему чотирьох лінійних однорідних рівнянь з чотирма невідомими:

 

                   .                 (3.11)

 

Умовою існування розв’язку системи є рівність нулю детермінанта (), складеного із коефіцієнтів при невідомих. Якщо визначник системи (3.11)  то  і постійні А, В, С і D = 0.

Після розкриття визначника четвертого порядку одержуємо

 

.  3.12)

Останнє рівняння зв'язує величини  і , які містять власні значення енергії електрона  з хвильовим вектором k. Отже, рівність (3.12) можна розглядати як співвідношення між  і k. Розв'язати рівняння (3.12) складно. Тому в моделі вводять додаткові умови, що її спрощують. Розглянемо згідно з Кронігом та Пенні високі () та тонкі () бар'єри, але такі, що добуток  є скінченним і сила потенціального бар’єру . Це означає, що , тоді  із однаковими темпами. Оскільки , то

.

Проведемо оцінку :

~, оскільки

.

Таким чином, .

При малих значеннях - гіперболічні величини ~1, а ~.

                Якщо врахувати, що <<, , >> і <<, то співвідношення (3.12) перепишеться так:

                       .        (3.12')

Можна подати і так:

                 .                 (3.12'')

Введемо параметр Г, позначивши множник=Г>0.

Зазначимо, що згідно з означенням величина Г є мірою ефективної площі кожного бар'єра, тобто характеризує ступінь прозорості бар'єра для електрона або ступінь зв'язаності електрона в потенціальній ямі. Тоді рівняння (3.12''), з урахуванням , записують у вигляді

                         Г.                         (3.12''')

Оскільки  є парною функцією (заміна k на -k не змінює рівняння), то із співвідношення (3.12''') випливає, що енергія електрона є також парною функцією від k: (k)=(-k). Рівняння (3.12''') розв’язується графічним методом. Точки перетину Г і  (рис. 3.5) є корені (3.12'''). Бачимо, що кожному значенню хвильового числа k відповідає декілька значень енергії, оскільки .

Якщо розглядати всю сукупність електронів, то спектр їх хвильових чисел забезпечує межі зміни від -1 до

 

1.Тоді розв’язками рівняння (3.12''') будуть не окремі точки, а інтервали енергії ,  і т.д., які одержали назву енергетичних зон.

 

Ліва частина рівняння (3.12''') зображена суцільною лінією. Оскільки  може набувати значення в інтервалі [-1,1], то дозволеними значеннями  є такі, для яких ліва частина рівняння (3.12''') не виходить за вказані межі. На рис 3.5 інтервали дозволених значень  замальовані . Ширина цих інтервалів залежить від Г: із зменшенням Г їх ширина  зростає. Крім того, ширина інтервалів залежить також від : якщо Г фіксоване, то ці інтервали  збільшуються із  зростанням .

Із співвідношень (3.7) та (3.9) випливає, що такі самі висновки стосуються енергії. Відтак, енергія електрона в полі періодичного потенціалу не може набувати довільних значень: існують зони дозволених та заборонених значень енергії.

Проаналізуємо, як змінюватиметься спектр електронів у двох граничних випадках:  і . Випадок  відповідає умові , тобто майже вільному електрону (наближення слабкого зв'язку). Із співвідношення (3.12''') отримаємо , тобто , і оскільки енергія є парною функцією хвильового числа , із співвідношення (3.7) отримують такий вираз для енергії електрона:

                                          .                        (3.13)

Цей вираз збігається із залежністю  (k)  для вільних електронів.

В іншому граничному випадку (при ) бачимо, що . Фізично це означає, що електрон локалізований у нескінченно глибокій ямі, тобто є сильно зв'язаним (наближення сильного зв'язку). При  з рівняння (3.12''') отримаємо , тобто , де  і т.д.

З умови (3.9) отримаємо

.               (3.14)

Отже, при  система енергетичних зон вироджується у систему рівнів.