3.5 Ефективна маса електрона в кристалі. Ізоенергетичні поверхні

 

У багатьох задачах фізики твердого тіла використовується поняття ефективної маси. Це пов’язано з тим, що прискорення, яке дістає електрон у кристалі, є наслідком дії на нього деякої сили  - рівнодійної зовнішньої сили та сили внутрішнього кристалічного поля. Динаміка його руху складна і описати рух можливо, тільки враховуючи його хвильовий характер. Також для спрощення задачі можна вважати, що на електрон діє тільки зовнішня сила, а дія внутрішньої сили еквівалентна заміні маси електрона деякою новою масою m*, яку називають ефективною. При такій заміні рівняння другого закону Ньютона набирає вигляду

,

де  - рівнодійна всіх зовнішніх сил.

Для вільного електрона (=0) ефективна маса збігається з дійсною.

Для врахування дії внутрішнього кристалічного поля електрон можна замінити хвильовим пакетом, що складається із блохівських хвильових функцій, які описують рух електрона в решітці. Відповідно до цього швидкість електрона виражається через групову швидкість пакета, яку можна визначити із закону дисперсії

.                                                   (3.15)

Під дією сили  електрон набуває середнє прискорення

,

де  - середня потужність сили, що розганяє електрон.

Величина зовнішньої сили не залежить від хвильвого числа  і її можна винести за знак похідної  . Враховуючи першу похідну від (3.15) , отримаємо .

У більш загальній формі закон Ньютона для електрона в кристалі як квазічастинки матиме вигляд

,                                              (3.16)

де a - прискорення;  - ефективна маса електрона.

Ефективна маса електрона в кристалі не визначає ні інерційних, ні гравітаційних його властивостей. Введення цієї величини дозволяє враховувати складний характер взаємодії електрона з кристалічною решіткою при його русі під дією зовнішнього електричного поля та користуватись звичними формулами:

, , .

Особливістю ефективної маси електрона в кристалі є її залежність від напрямку руху електрона і від його стану (положення електрона в енергетичній зоні). Оскільки ефективна маса електрона в кристалі є функцією другої похідної кінетичної енергії Е по хвильвому вектору , то для з’ясування характеру зміни  залежно від положення електрона в енергетичній зоні потрібно дослідити функцію . Графік цієї функції для першої енергетичної зони зображено на рис.3.6. Перша похідна виражає крутизну графіка у відповідних точках і визначає швидкість електрона. Друга похідна виражає кривизну графіка і визначає ефективну масу. У електрона, що знаходиться в нижній частині енергетичної зони, кінетична енергія змінюється майже як у вільного електрона, швидкість під дією зовнішніх сил зростає пропорційно хвильвому вектору, ефективна маса незмінна. Збільшення хвильового вектора і перехід електрона на енергетичні рівні верхньої частини зони приводить   до  ряду змін:   швидкість   досягає максимуму, а ефективна маса зростає і стає нескінченно великою. При подальшому збільшенні хвильо-вого вектора швидкість електрона зменшується (він отримує від’ємне прискорення), а це рівнозначно руху частинки з від’ємною масою. Якщо враху-вати, що електрон має від’ємний заряд, то рух його в станах, що відповідають верхній частині енергетичної зони, можна розглядати як рух частинки з додатним зарядом – дірки.

Фізичний зміст  полягає у тому, що робота зовнішніх сил F, які прискорюють електрон, частково переходить у кінетичну енергію електрона, а частково -  у потенціальну енергію решітки. Якщо, то це із фізичної точки зору означає, що робота сил повністю переходить у потенціальну енергію решітки (електрон зупиняється). Коли , то в потенціальну енергію решітки переходить не тільки робота зовнішніх сил, але і частина кінетичної енергії електрона.

Особливістю руху електронів у кристалі є те, що вони мають всі властивості квазічастинок. Із цієї причини, якщо для електрона у вакуумі закон дисперсії енергії  (- маса електрона у вакуумі), то в кристалі він має дещо інший вигляд: , де - ефективна маса електрона.

У системі координат, що визначається осями , , , попереднє рівняння набере вигляду, що можна розглядати як сімейство поверхонь. Тому рівняння (n – номер зони) визначає в цьому просторі поверхню однакових значень енергії, тобто ізоенергетичну поверхню. Так, наприклад, ізоенергетична поверхня, що відповідає енергії електрона на дні зони провідності, являє собою сферу радіусом .

Форма ізоенергетичної поверхні багато в чому визначає найбільш важливі електронні властивості твердих тіл. Оскільки енергія електрона в кристалі є парною функцією хвильового вектора , то поверхні постійної енергії в -просторі симетричні стосовно точки =0, тобто вони завжди мають центр симетрії. Внаслідок періодичності і парності  достатньо обмежитися першою зоною Бриллюена для кожного компонента вектора . На рис. 3.7 наведено контури енергії (що виражена в еВ) для першої і другої зон Бриллюена умовної квадратної решітки. Із збільшенням  контури ліній постійної енергії поступово зближуються між собою, а також дедалі більше спотворюються. Причина зближення контурів полягає в тому, що   змінюється, як . А причина спотворення в тому, що чим ближче електрон до межі зони Бриллюена, тим ближчий він до того, щоб зазнати дифракції на реальній кристалічній решітці, а отже, більшою є його взаємодія з періодичною структурою позитивних іонів і тим помітніша зміна його енергії.

Для металів поверхня постійної енергії (ізоенергетичн поверхня), що відповідає рівнянню , називається поверхнею Фермі. Ця поверхня проходить через межу між зайнятими і вільними станами частково заповненої n-ї зони. Це твердження виконується тільки при абсолютному нулі температури, але практично ним можна користуватися і при температурах, відмінних від нуля, оскільки, як правило, виконується умова . Важливість поняття поверхні Фермі визначається тим, що вона показує, які із хвильових векторів  в зоні Бриллюєна відповідають зайнятим станам, а які - вільним.

Ізоенергетичні поверхні Фермі можуть проходити через всю обернену решітку або розміщуватися в окремих її комірках. У першому випадку їх називають відкритими, а у другому – закритими (рис. 3.8). На рис. 3.8 а - це сфера з об'ємом, що дорівнює половині об'єму першої зони Бриллюена; вона повністю вміщується всередині першої зони Бріллюена і не дотикається до її меж. Поверхня Фермі міді (рис. 3.8 б) істотно відрізняється від сфери і перетинає межі зони Бриллюена в декількох її точках (на рисунку місця розривів поверхні Фермі затемнено). Із наведених прикладів видно, що поверхня Фермі може складатися з ізольованих замкнених поверхонь, які повторюються в усіх елементарних комірках оберненого простору або може бути незамкненою поверхнею, яка проходить через нескінченну послідовність елементарних комірок в оберненій решітці. Зміна багатьох фізичних властивостей металів істотно залежить від форми поверхні Фермі.