4.1 Класична електронна теорія металів

 

В основі електронної теорії металів лежить уявлення про електронний  газ, що складається з вільних електронів (модель Друде). Електронному газу приписують властивості ідеального одноатобагато газу. Вільні електрони безперервно хаотично рухаються, причому середня кінетична енергія їх руху дорівнює . Вони обмінюються енергією з кристалічною решіткою при зіткненнях. Під дією зовнішнього електричного поля в металі виникає дрейф вільних електронів. Електрони прискорюються в проміжках між двома подальшими зіткненнями і передають при зіткненні отриману в електричному полі енергію кристалічній решітці. На основі цих уявлень можна пояснити ряд властивостей металів.

У проміжку між двома подальшими зіткненнями електрони під дією зовнішнього електричного поля рухаються з прискоренням , де  - заряд електрона;  E– напруженість електричного поля; m – маса електрона.

Максимальна швидкість електронів перед зіткненням дорівнює

,

де  — середній час вільного пробігу електронів (час релаксації).

Середня швидкість дрейфу електронів  дорівнює половині максимальної, оскільки відразу ж після зіткнення швидкість дрейфу електрона дорівнює нулю, а потім зростає з часом лінійно:

.

Підставивши даний вираз у формулу густини струму , отримаємо , тобто щільність струму в провіднику пропорційна напруженості електричного поля в ньому, а це є формулювання закону Ома. Таким чином, виведений закон збігається із знайденим експериментально. Множник  є питомою електропровідністю металу. Якщо врахувати, що дрейфова швидкість електронів значно менша, ніж швидкість їх теплового руху, то час вільного пробігу електрона визначається так: , де  - середня довжина вільного пробігу електрона; - середня швидкість його теплового руху. У класичній електронній теорії припускається, що  дорівнює міжатомній відстані в кристалі. Отже, . Виведення цієї формули не можна вважати строгим, оскільки розглядався рух окремого «середнього» електрона, а отримані висновки поширювалися на всі вільні електрони. Правильнішим був би розгляд дії електричного поля на всю сукупність вільних електронів, причому їх сумарний імпульс змінюється під дією поля і зіткнень електронів їз решітками. Такий розгляд приводить до того, що середня дрейфова швидкість електронів виявляється удвічі більшою отриманої нами, і, отже, формула набере такого вигляду: . З цього виразу видно, що питома електропровідність металу залежить від природи металу (n і ) і від температури. Температурна залежність, яку дає електронна теорія, не відповідає експерименту, оскільки з дослідів відомо, що електропровідність змінюється приблизно обернено пропорційно до Т. Із останньої формули ніяк не випливає, що перехід металів у надпровідний стан повинен відбуватися стрибком при температурах вище за абсолютний нуль.

У електронній теорії металів можна вивести і деякі інші експериментальні закони. Наприклад, закон Відемана-Франца. Відкритий дослідним шляхом закон свідчить: відношення коефіцієнта теплопровідності металу до його питомої електропровідності однакове для всіх металів при однаковій температурі.

Таким чином, у випадку законів Ома, Відемана-Франца, Джоуля-Ленца електронна теорія дає задовільну якісну узгодженість з експериментом. Але електронна теорія приводить до значної розбіжності з дослідними даними при поясненні ряду важливих властивостей металів. Прикладом цього може слугувати величина молярної теплоємності металів. Згідно з електронною теорією вільні електрони металу обмінюються енергією при зіткненнях із кристалічною решіткою, і тому молярна теплоємність металу C повинна складатися з теплоємності кристалічної решітки Cv  і теплоємності електронного газу Cел, а саме: C=Cv+Cел.

Теплоємність кристалічної решітки за законом Дюлонга і Пті дорівнює Cv=3R. Припускаючи, що число вільних електронів в металі дорівнює числу атомів і що електрони мають три ступені вільності, отримаємо Cел=3/2R. Молярна теплоємність металу повинна дорівнювати C=9/2R. У той самий час для діелектриків, у яких немає вільних електронів, молярна теплоємність дорівнює 3R. Але дослід показує, що молярні теплоємності металів і діелектриків істотно не відрізняються. Електронна теорія металів ніяк не пояснює і залежність теплоємності металів від температури. Обмеженість класичної електронної теорії металів є наслідком того, що вона розглядає вільні електрони як класичні частинки, а сукупність їх електронний газ - як класичний ідеальний газ.