4.3 Вироджений електронний фермі-газ у металах і його теплоємність

 

Система частинок називається виродженою, якщо її властивості, що описуються квантовими закономірностями, відрізняються від властивостей звичайних систем, які підпорядковуються класичним законам [15]. Відхилення в поведінці ферміонів від класичної статистики Максвела-Больцмана називається виродженням газу (вироджений газ). Виродження газів стає суттєвим при низьких температурах і значних густинах.

Параметром виродження називається величина

.

Якщо А<<1 (малість виродження) у квантовій функції , можна знехтувати одиницею у знаменнику і вона переходить у класичну функцію розподілу Максвела-Больцмана

.

Умова малості виродження має вигляд

.

Температурою виродження ТВ називають температуру, при якій виродження стає суттєвим. ТВ визначається із умови

 

, звідки .

 

Температурний критерій виродження такий:  - система частинок вироджена;  - система частинок не вироджена, і її поведінка описується класичними законами.

Очевидно, що властивості електронного газу в металі принципово відрізняються від властивостей класичного ідеального газу. Електронний газ у металі називають виродженим газом. Основною ознакою виродженості газу є незалежність енергії його частинок від температури. Електронний газ в металі залишається виродженим до того часу, поки будь-який з електронів не зможе обмінюватися енергією з кристалічною решіткою, а це, у свою чергу, можливо лише тоді, коли середня енергія теплових коливань решітки  стане не меншою енергії Фермі, тобто . Температура , нижче за яку газ переходить з невиродженого стану у вироджений, також називається фермівською температурою (температурою виродження).

Електрони у металах є прикладом виродженого газу. За звичайних умов n0≈(1028-1029)м-3, а маса електрона m=9,1∙1031кг, то ТВ≈(16-20)∙103К. Отже, електронний газ не підпорядковується класичній статистиці.

За даними таблиці 4.1 видно, що електронний газ у металах при всіх практично можливих температурах знаходиться у виродженому стані. При строгому розгляді можна показати, що енергія Фермі і середня енергія електронів у металі із зростанням температури змінюються. Зокрема, енергія Фермі із підвищенням температури зменшується, а середня енергія електронів зростає. Але ці зміни при звичайних температурах настільки незначні, що їх  рідко враховують (при підвищенні температури срібла від 0 до 1000К енергія Фермі зменшується на 0,2%.).

 

Таблиця 4.1 - Енергія Фермі і температура виродження електронного газу для деяких металів

 

Метал   ЕF,еВ     ТВ, 103 К

Cs           1,53        18

К             2,14        24

Na          3,12        37

Li            4,72        55

Ag           5,5          64

Al            11,9        138

Be           14,6        169

 

Зменшення енергії Фермі при підвищенні температури пояснюється тим, що при температурі Т>0К частина електронів, розташованих на енергетичних рівнях, нижчих за рівень Фермі, переходить на вищі рівні, залишаючи колишні рівні вакантними. Вакантні рівні можуть бути заповнені електронами з рівнів, що пролягають нижче, і т. д. У результаті при підвищенні температури рівень Фермі знижується. Хімічний потенціал електронного газу при температурі Т>0К:

.

Розвинена на основі квантової теорії електронна теорія металів дозволила правильно обчислити теплоємність металів. Як зазначалося раніше, число електронів, що змінюють свою енергію при зміні температури незначне. Зміна температури змінює енергію тільки тих електронів, які розташовані на рівнях, віддалених від рівня Фермі на декілька kT. Завдяки цьому більшість електронів не роблять внеску до теплоємності, оскільки їх енергія залишається сталою.

Величину електронної теплоємності можна знайти, використавши співвідношення для внутрішньої енергії електронного газу.

Внутрішня енергія одного моля електронного газу

 

.

 

Молярна теплоємність електронного газу

 

.                        (4.5)

 

Неважко підрахувати, що при температурах вище дебаєвської, електронна теплоємність становить незначну частину повної теплоємності кристала. Внесок електронів у теплоємність металів стає помітним при дуже низьких температурах, де теплоємність кристалічної решітки, пропорційна , стає навіть меншою електронної теплоємності, пропорційної Т.