5.2 Статистика електронів у напівпровідниках із власною провідністю

 

Важливим питанням фізики напівпровідників є питання про концентрацію носіїв у зонах при кінцевих температурах (при Т=0К валентні зони заповнені повністю, а зони провідності пусті). Розглянемо найпростішу модель двох зон, розділених забороненою зоною заданої ширини заб. Будемо вважати заданими ефективні маси електронів поблизу дна зони провідності та дірок поблизу верхньої границі валентної зони і температуру. Потрібно знайти концентрацію електронів у зоні провідності, концентрацію дірок у валентній зоні і хімічний потенціал. Для знаходження концентрації електронів () і дірок (), які дорівнюють одна одній, необхідно розглянути фазовий простір. Число  енергетичних рівнів, які будуть займати фазовий об'єм , дорівнює:

,

 

де  можна взяти таким, що дорівнює 1м3, а  подати у вигляді кулькового прошарку . Після перетворень одержуємо

 

,                                                              (5.1)

 

де  - ефективна маса електрона.

Кількість електронів на рівнях  визначається із співвідношення

 

,                                                              (5.2)

 

де  - функція Фермі-Дірака; μ – хімічний потенціал (див. рис. 5.2).

 

 

Якщо провести інтегрування формули (5.2), то одержимо концентрацію електронів :

.               (5.3)

 

За аналогією до (5.3) можна записати співвідношення для дірок

,

де  - функція розподілу Фермі-Дірака для дірок.

Концентрація дірок у зоні валентності буде дорівнювати

 

.                              (5.4)

 

Враховуючи, що у власному напівпровіднику , одержуємо рівняння

,

із якого випливає, що  при Т=0К або при  (при будь-якій температурі). В інших випадках  .

Хімічний потенціал у теорії напівпровідників часто називають рівнем Фермі. Але на відміну від енергії Фермі в металах (яка розділяє зайняті і незайняті електронами стани), у напівпровідниках рівень Фермі лежить всередині незайнятої електронами області – забороненої зони.