Додаток А

(обов’язковий)

 

Приклади розв’язування задач

Задача 1

Написати індекси напрямку прямої, яка проходить через вузли [[100]] та [[001]] примітивної кубічної решітки [22].

 

Розв’язання

Зобразимо примітивну кубічну решітку, відмітимо на ній вузли з індексами [[100]] та [[001]] і проведемо через ці вузли пряму (Рис. А.1, а).

Якби пряма проходила через початок координат, то індекси її напрямку збіглися б з індексами вузла, найближчого до початку координат із вузлів, через які проходить пряма.

Якщо перенести початок координат у вузол [[100]] (Рис. А.1, б), то вузол, який лежить на тій самій прямій і найближчий до вибраного початку координат, буде мати індекси [[01]], а шуканий напрямок у цьому випадку визначається індексами [01].

Якщо ж початок координат перенести у вузол [[001]] (Рис. А.1, в) , то відповідно індекси напрямку будуть [10]. Отже, індекси шуканого напрямку в кристалі [01] або [10].

 

                   а                              б                             в

Рисунок А.1 - Пояснення до задачі 1

Не завжди можна легко визначити, як змінюються індекси вузлів при перенесенні початку координат. Тому розглянемо аналітичний метод розв’язання задачі.

Напишемо у загальному вигляді рівняння прямої, яка проходить через дві точки у просторі, з індексами вузлів [[m1n1p1]] та [[m2n2p2]]:

.                               (1)

Величини, які утворюються у знаменнику, пропорційні напрямним косинусам прямої. Оскільки ці величини - цілі числа, то вони і будуть індексами напрямку.

Підставимо у знаменник виразу (1) значення індексів вузлів m1=1, n1=0, p1=0 та m2=0, n 2=0, p2=1 і отримаємо:

m2 – m1 =0–1=–1,

n2 – n1 =0–0= 0,

p2 – p1 =1–0=1.

Таким чином, шукані індекси напрямку [01].

Відповідь: індекси напрямку [01].

 

Задача 2

Написати індекси Міллера для площини, яка має вузли з індексами [[200]], [[010]] [[001]]. Решітка примітивна, кубічна [22].

Розв’язання

Можливі два способи розв’язання задачі. Перший спосіб застосовується тоді, коли вузли, що належать площині, одночасно лежать і на осях координат (тобто відомі відрізки, відсічені площиною на осях координат).

У даному випадку вузли, лежать на осях координат, отже, відрізки (в одиницях сталої решітки), які відсікаються на осях координат цією площиною, відповідно будуть 2, 1, 1 (Рис. А.2). У відповідності до загального правила знаходження індексів Міллера запишемо зворотні значення отриманих чисел   та зведемо їх до найменшого спільного знаменника. Отримана сукупність значень у чисельниках дробів і є шуканими індексами Міллера (122).

 

               

 

 

Рисунок А.2 - Схематичне зображення кристало¬графіч¬ної площини

 

 

Другий спосіб (аналітичний) особливо зручний тоді, коли відомі вузли не лежать на осях координат. Цей спосіб є загальним і застосовується у всіх випадках.

Відомо, що індекси Міллера дорівнюють найменшим цілочисловим коефіцієнтам при змінних у загальному рівнянні площини. Тому розв’язання задачі з визначення індексів Міллера зводиться до знаходження рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через три точки з координатами [[m1n1p1]], [[m2n2p2]], [[m3n3p3]], задається визначником третього порядку

 

.

У нашому випадку: m1=2, n1=0, p1=0; m2=0, n2=1, p2=0; m3=0, n3=0, p3=0. Підставляючи значення індексів вузлів у визначник, отримаємо

 

.

 

Розкладемо цей визначник за елементами першого рядка

 

.

 

Розкривши визначник другого порядку, отримаємо

 

(x-2)(+1)-y(-2)+z(+2)=0 або x+2y+2z=2.

 

Коефіцієнти при x, y, z і є індексами Міллера (122).

Ці значення індексів, як і слід було очікувати, збігаються із значеннями, отриманими першим способом.

Відповідь: індекси Міллера (122).

 

Задача 3

Визначити відносну атомну масу кристала, якщо відомо, що відстань d між найближчими сусідніми атомами дорівнює 0,304 нм. Густина ρ кристала дорівнює 534. Решітка об’ємноцентрована кубічної сингонії.

 

Розв’язання

Маса кристала , де об’єм кристала (- об’єм однієї елементарної комірки), число елементарних комірок у кристалі масою m; =.10-3 - молярна маса, виміряна в кг/моль; n =2 - кількість атомів в елементарній комірці ОЦК-решітки.

Таким чином, отримуємо співвідношення

,

звідки знаходимо    ;

.

За таблицею Менделєєва знаходимо, що це літій.

Відповідь:=6,95.

 

Задача 4

Знайти сталу решітки (а) і відстань (d) між найближчими сусідніми атомами кристала:

1) алюмінію (ГЦК - решітка);

2) вольфраму (ОЦК - решітка).

 

Розв’язання

Густину кристалів  можна знайти як відношення маси елементарної комірки m до її об’єму V:

             

де - маса одного атома; n- кількість атомів в одній елементарній комірці (для ГЦК – решітки n=4, для ОЦК - решітки n=2); а- параметр решітки (a=d для ГЦК-решітки, для ОЦК-решітки); - молярна маса речовини кристала. Таким чином, виконуємо розрахунки за формулою

.

Для А1

 

          

Для  W

 

            

Відповідь: 1) а=0,404нм, d=0,286нм; 2) а=0,316нм, d=0,274нм.

 

Задача 5

Обчислити максимальну частоту  Дебая, якщо відомо, що молярна теплоємність  срібла при Т=20K дорівнює 1,7Дж/(моль К).

Розв’язання

Частота Дебая зв’язана з температурою Дебая  таким співвідношенням:

                                          .

Відповідно до теорії теплоємності кристалів Дебая в області низьких температур

                                  

тоді

                                   

 

                                                

 

Відповідь: .

 

Задача 6

Для нагрівання срібла масою m=10г від 10К до 20К було витрачено Дж тепла. Визначити характеристичну температуру Дебая срібла. Вважати .

 

Розв’язання

     Частота Дебая зв’язана з температурою Дебая  співвідношенням

                                             .

Відповідно до теорії теплоємності Дебая кристалів в області низьких температур

                                            

тоді

            ,

де кг/моль – молярна маса срібла,

звідки знаходимо

 

             .

 

Відповідь: .

 

Задача 7

Період d решітки одновимірного кристала дорівнює 0,3 нм. Знайти максимальну енергію  фононів, якщо усереднена швидкість звуку в кристалі  v=5 км/с.

 

Розв’язання

Максимальна енергія фонона визначається за формулою

                                 ,

де  – максимально можлива частота коливань у кристалі;  – мінімальна довжина хвилі, яка може реалізуватись у кристалі.

                                  

 

Відповідь: .

 

Задача 8

Визначити усереднену швидкість звуку у кристалі, характеристична температура  якого 300К. Міжатомна відстань d у кристалі дорівнює 0,25 нм.

 

Розв’язання

Відповідно до визначення

 

                                         

де – максимально можлива частота коливань у кристалі;  – мінімальна довжина хвилі, яка може реалізуватись у кристалі ( див. рис. 2.1).

                Таким чином,

 

 

Відповідь: .

 

Задача 9

Скільки вільних електронів припадає на один атом натрію при температурі Т=0 К. Енергія Фермі  для натрію дорівнює 3,12 еВ. Густина натрію .

 

Розв’язання

Кількість електронів dN в елементі фазового простору , де V – об’єм кристала; р -  імпульс електрона

                                                   

де 2 означає кратність виродження енергетичних рівнів;

– функція розподілу Фермі-Дірака.

 

                У нашому випадку при Т=0 К, , тоді

                                  .

Якщо врахувати, що

                 

де m – маса електрона, то

 

             .

                При абсолютному нулі температури максимальна енергія електронів у металі дорівнює енергії Фермі. Враховуючи це, одержуємо концентрацію електронів у металі

         

Концентрація атомів ,

де – молярна маса речовини кристала.

                Таким чином, маємо кінцеву формулу

                  

.

 

Відповідь: .

 

 

 

Задача 10

                Знаючи функцію розподілу електронів у металі за енергіями

                            ,

знайти розподіл dn(p) за імпульсами: 1) при довільній температурі Т; 2) при температурі Т=0 К.

 

Розв’язання

Для переходу від розподілу за енергіями до розподілу за імпульсами скористаємося зв’язком між енергією та імпульсом

                                        

тоді

           .

Якщо температура кристала Т=0 К, то  ,               

оскільки функція розподілу Фермі-Дірака у цьому випадку дорівнює одиниці.

 

Відповідь:

Задача 11

Знаючи розподіл dn(v) електронів у металі за швидкостями, виразити <1/v> через максимальну швидкість  електронів у металі. Метал перебуває при Т=0 К.

 

Розв’язання

Розподіл електронів у металі за швидкостями при Т=0 К має вигляд

 

                                         

                Середнє значення <1\v> можна знайти за формулою

 

                                           ,

де W – ймовірність того, що електрон має швидкість від v до v+dv. Ймовірність можна знайти так:

 

                            .

 

Таким чином, одержуємо

 

                        .

 

Відповідь: .

 

Задача 12

Напівпровідник у вигляді тонкої пластини шириною l=1см і довжиною L=10 см помістили в однорідне магнітне поле з індукцією B=0,2Тл. Вектор магнітної індукції перпендикулярний до площини пластини. До кінців пластини (у напрямку L) прикладена стала напруга U=300B. Визначити холлівську різницю потенціалів  на гранях пластини, якщо стала Холла , питомий опір Ом м.

 

Розв’язання

Під дією сили Лоренца  електрони будуть рухатися до однієї з бічних граней пластини, у результаті чого виникне холлівська різниця потенціалів, зв’язана з напруженістю електричного поля Холла  співвідношенням

                                           

Процес перерозподілу електронів буде продовжуватися до того часу, поки сила Лоренца  не зрівноважиться кулонівською силою

                                            

 

тобто  

Дрейфову швидкість електронів v можна знайти із виразу для густини струму j:

                                                j=nev,

де n – концентрація електронів.

Таким чином,

                           

де I – сила струму в провіднику; S – площа поперечного перерізу провідника. Звідси випливає

                                    ,

де R– опір пластинки, тоді

.

Відповідь:

 

Задача 13

Молярна магнітна сприйнятливість окису хрому Cr2O3 дорівнює 5,8•10-8 м3/моль. Визначити магнітний момент  молекули Cr2O3 (у магнетонах Бора), якщо температура Т=300 К.

Розв’язання

Магнітна сприйнятливість  парамагнітних речовин виражається за теорією Ланжевена формулою

                                               ,              

де n-концентрація молекул; - магнітний момент молекули.

Враховуючи, що , отримаємо

                                           .

Виразивши магнітну сприйнятливість  через молярну магнітну сприйнятливість, знайдемо . Звідси

                                      .

Провівши обчислення, отримаємо .

Виразимо відповідь у магнетонах Бора . Оскільки =0,927∙10-23 А∙м2, то =3,34.

Відповідь: =3,34.