1.1 Операції і елементи симетрії

 

Під твердими тілами розуміють речовини, які виявляють жорсткість стосовно зсуву. Структура таких речовин, як правило, кристалічна або аморфна. Особливістю будови кристалічних речовин є наявність “дальнього“ порядку – кореляція у взаємному розташуванні атомів (молекул) на відстанях, значно більших середньої міжатомної відстані. Аморфним речовинам притаманний “ближній” порядок – певна узгодженість у розташуванні суміжних частинок, яка з відстанню зменшується і зникає на відстанях, порівнюваних з середніми міжатомними (0,5-1,0 нм).

Кристалічний стан - основний (з мінімальною енергією) стан твердого тіла. Отже, вивчення фізики твердого тіла потребує знання елементів кристалографії [1, 2].

Вивчення кристалів розпочалося дуже давно. Спочатку звернули увагу на правильність огранювання досить  великих кристалів. Потім при вивченні фізичних властивостей твердих тіл виявили анізотропію цих властивостей, тобто залежність їх від напрямку в кристалі. З розвитком атомістичних уявлень стало зрозуміло, що і правильність огранювання кристалів, і анізотропія їх фізичних властивостей обумовлені симетрією кристалічної решітки, утвореної структурними елементами (атомами, іонами, молекулами) кристала.

Симетрією називається властивість об’єкта суміщатися з самим собою при певних переміщеннях у просторі. Ці переміщення - операції симетрії, а відповідні їм геометричні образи - елементи симетрії. Повний набір операцій симетрії, притаманних даному об’єкту, становить його групу симетрії.

Розглянемо основні операції і елементи симетрії кристалічної решітки.

Операції точкової симетрії - це такі переміщення, при яких хоча б одна точка об’єкта залишається нерухомою. До них відносять перш за все прості операції (рис. 1.1): поворот навколо осі симетрії, відбивання в площині симетрії, інверсія, відбивання з поворотом та інверсія з поворотом.

Характерними елементами симетрії кристалічних багатогранників є площина симетрії, вісь симетрії і центр симетрії (центр інверсії).

Площина симетрії (m) - площина, яка поділяє фігуру на дві частини, одна з яких є дзеркальним відображенням іншої.

Вісь симетрії (n) - пряма лінія, повертання навколо якої на певний кут суміщає фігуру саму з собою. Порядок осі симетрії (поворотної осі) n вказує, скільки разів фігура суміщається сама з собою при повному повороті навколо цієї осі. Кристали мають поворотні осі 1-го, 2-го, 3-го, 4-го і 6-го порядків, що відповідно означає обертання кристалів на кути 360, 180, 120, 90 і 60°. Нещодавно виявлено метастабільні тверді тіла – квазікристали, в структурі яких є осі симетрії 5-го порядку.

Центр симетрії () - така точка всередині фігури, що будь-яка пряма, проведена через центр симетрії, з'єднує по обидві сторони від центра точки фігури на однаковій відстані.

Таким чином, наприклад, сукупністю елементів m, 2, 3, 4, 6,  повністю описуються всі можливі прості операції симетрії (першого роду).

Сумісне використання двох операцій симетрії дають складні операції симетрії (2-го роду). Вони наведеніі на рис. 1.1 г, д.

Інверсійна вісь симетрії () - поєднання осі повороту і одноразової інверсії в центрі симетрії. Можливі інверсійні осі для кристалів , , ,  і .

Дзеркально-поворотна вісь симетрії (n/m) — поєднання осі симетрії і відбивання в площині симетрії, перпендикулярній до цієї осі.

Операції симетрії додаються відповідно до теорем про додавання операцій симетрії.

У міжнародній символіці, окрім уже згаданих позначень, прийнято ще такі: nm - вісь симетрії n-го порядку і m-площин симетрії, що проходять вздовж них; n/m - вісь симетрії n-го порядку і перпендикулярна до неї площина симетрії; n/mm — вісь симетрії n-го порядку і площини m, паралельні і перпендикулярні до неї. Повна формула симетрії становитьться із записаних підряд всіх елементів симетрії, сукупність яких називається класом симетрії. Сукупність симетрій кристалічних багатогранників описується 32 кристалографічними класами симетрії, що належать до семи систем, або сингоній.

У випадку нескінченних об’єктів до точкових операцій симетрії додаються трансляції (Т) - нескінченно повторюване паралельне перенесення об’єкта на деяку відстань, що називається періодом трансляції, а відповідний вектор – вектором трансляції. Три таких некомпланарних вектори найменшої довжини, називають основними векторами трансляції (рис.1.2).

 

Додавання операцій трансляції привело до встановлення нових складних елементів симетрії (рис.1.3).

Площина ковзного відбивання – операція при якій фігура суміщається сама з собою внаслідок дзеркального відбивання в площині та зміщення на половину вектора трансляції паралельно цій площині (рис.1.3 б).

Гвинтова вісь – операція, що становитьться з повороту на кут 2π/n та трансляції на певну частку періоду (рис.1.3 в).

Групи симетрії, які включають і трансляції, називаються просторовими. Встановлено, що кристалічні структури утворюють 230 просторових груп симетрії  (запропонували  Є. С. Федоров і А. Шенфліс).