1.2. Елементарні комірки і решітки Браве

 

Кристали – це тверді тіла, в яких атоми або молекули мають чітку тривимірну періодичність. Структуру кристала можна зобразити як нескінченні симетричні ряди, сітки і решітки з періодично повторюваних частинок. Для характеристики внутрішньої структури кристалів користуються поняттям кристалічної решітки.

Кристалічна решітка - періодична тривимірна структура, в якій атоми чи молекули займають фіксовані положення і перебувають на певних відстанях.

 

 

 

Найбільш загальними макроскопічними властивостями кристалічної решітки є її однорідність, анізотропія і симетрія.

Багатогранник, трансляціями якого можна без пропусків і перекривань повністю заповнити всю безкінечну решітку, називається елементарною коміркою. Вибір такої комірки неоднозначний. Наприклад, це може бути паралелепіпед, ребрами якого є основні трансляції. Довжини ребер називають постійними решітки. Елементарна комірка мінімально можливого об’єму називається примітивною елементарною коміркою. Вона може мати чи не мати всі елементи симетрії решітки. Зокрема, всі елементи симетрії решітки має примітивна елементарна комірка Вігнера-Зейтца. Вона будується так: будь-який вузол решітки (взятий за початковий) з’єднують відрізками з іншими вузлами, а потім через середини цих відрізків проводять площини, перпендикулярні до них. Багатогранники, обмежені цими площинами, утворюють комірку Вігнера-Зейтца (рис. 1.4).

 

 

Геометрична будова елементарних комірок характеризує кристалографічну структуру речовини. Тому за формою зручно класифікувати не кристали, а елементарні комірки. При цьому всі кристали поділяються на кристалографічні системи (сингонії) різних типів. Як і будь-який багатогранник, елементарна комірка (рис. 1.5) характеризується шістьма параметрами: довжинами ребер (, , ) і кутами між ними (α, β, γ). Залежно від співвідношення між цими відрізками (сталими решітки) і кутами розрізняють сім кристалографічних систем (сингоній).

На основі кристалічних решіток, що відповідають різним кристалографічним системам, Н. Франкенгейм (1835р.), а потім О. Браве (1850р.) виділили 14 видів трансляційних решіток, які тепер називаються решітками Браве.

Решіткою Браве називається система точок з радіусами-векторами

,                                              (1.1)

де ,  і  - основні вектори трансляцій; m1, m2 та m3 – цілі числа.

Як   видно із  таблиці 1.1,   кристалографічні   сингонії

 

 

 

Таблиця 1.1 - Типи кристалографічних сингоній та

решіток Браве

 

Сингонії              

Характер-

ні

елементи

симетрії                Тип решітки

                               Примі-

тивна     Базоцен-

трована                Об’ємно-

центрована         Гране-

центрована

Три-

клинна

a≠b≠с

α≠β≠γ≠90°           Немає осей і площин      

                              

Моно-

клинна

a≠b≠с

α=γ=90°, β≠90°   Одна вісь 2 або  і площина           

 

               

Ромбічна

a≠b≠с

α=β=γ=90°           Більше однієї осі 2 або  і площина             

 

 

 

 

Триго-

нальна

a=b=с

α=β=γ≠90°           Вісь3 або

 

                              

Тетраго-

нальна

a=b≠с

α=β=γ=90°           Вісь 4 або

 

               

 

Гексаго-

нальна

a=b≠с

α=β=90°,

γ=120°   Вісь 6 або

 

                              

Кубічна

a=b=с

α=β=γ=90°           Чотири осі 3       

               

 

 

об’єднують у собі чотирнадцять типів решіток Браве. Властивістю решітки Браве є те, що із будь-якої її точки весь (безкінечний) кристал «спостерігається однаково».

Примітивна комірка може містити декілька (іноді дуже багато) атомів - різних або однакових, що знаходяться в нееквівалентних положеннях. Такі групи атомів називають базисом; говорять про одноатомний, двоатомний і т.д. базис.

 

 

 

У фізиці твердого тіла опис кристалів можна значно спростити, якщо ввести поняття оберненого простору і відповідно оберненої решітки. Визначити її можна таким чином: якщо система точок (1.1) — пряма решітка, то обернена решітка - це система точок

,                         (1.2)

де n1, n2 та n3 – цілі числа; , ,  - основні вектори оберненої решітки.

Слід також відмітити, що кожному вектору оберненої решітки  відповідає сімейство атомних площин (в яких лежать точки прямої решітки), перпендикулярних до вектора , відстані між якими , де Bmin –довжина найменшого вектора оберненої решітки, паралельного .

Базисні вектори оберненої решітки визначаються через вектори прямої решітки:

 

, , ,

де  - об’єм елементарної комірки прямої решітки.

У випадку кубічної та інших прямокутних решіток

 

, , ,

 

тобто вектори оберненої решітки визначаються через хвильові числа. Із цієї причини простір оберненої решітки може розглядатись як простір хвильових векторів (k-простір) або простір імпульсів (p-простір), оскільки імпульс . Елементарна комірка Вігнера-Зейтца в такому просторі являє собою першу зону Бриллюена. На рис. 1.6 наведено приклади побудови зон для двовимірної простої квадратної решітки (три зони) і для прямої ГЦК-решітки (перша зона).

 

Наступні зони Бриллюена будуються так: будь-який вузол оберненої решітки (взятий за початковий) з’єднують відрізками з іншими вузлами, а потім через середини цих відрізків проводять перпендикулярні площини. Багатогранники, обмежені цими площинами, утворюють зони Бриллюена. Об’єми всіх зон однакові.