3.1 Алгоритм біфуркації народження циклу

Теоретичною основою алгоритму біфуркації народження циклу є теорема Хопфа, на основі якої розроблено алгоритм інтегрування систем нелінійних диференціальних рівнянь [36]. Відомо декілька формулювань теореми, але для дослідження наведених лазерних моделей її достатньо сформулювати у спрощеному варіанті [39].

 Теорема Е. Хопфа. Нехай система диференціальних рівнянь з параметром

 

                                   (3.1)

 

має нерухому точку  при всіх дійсних значеннях , власні значення  лінеаризованої системи є суто уявними при . Якщо для дійсної частини власних значень  виконується умова трансверсальності ,, стаціонарна точка асимптотично стійка при , тоді

а)  є точкою біфуркації для системи;

б) існує інтервал , , такий, що при  стаціонарна точка є стійким фокусом;

в) існує інтервал , , такий, що при  стаціонарна точка є нестійким фокусом, що оточується граничним циклом, розмір якого збільшується разом із зростанням .

Нижче наводиться алгоритм біфуркації народження циклу відносно системи двох диференціальних рівнянь (3.1), хоча в повному об’ємі алгоритм охоплює системи   диференціальних рівнянь.

1 З рівнянь ,  знаходиться стаціонарний розв’язок системи , .

2 Будується матриця Якобі , .

3 Знаходяться власні значення матриці Якобі

 

                     ,

 

де  - слід матриці,  – визначник матриці .

4 З рівняння  визначається біфуркаційне значення одного з параметрів. Іноді виникає потреба розглянути кожен з параметрів як біфуркаційний. Якщо власні значення матриці Якобі   комплексно-спряжені при  з деякого інтервалу, що містить , виконується умова  трансверсальності, , то має місце біфуркація народження циклу.

5 Якщо матриця Якобі при біфуркаційному значенні параметра  має вигляд , то необхідно перейти до пункту 6. У протилежному разі будується матриця перетворення  , де – власний вектор матриці , що відповідає власному значенню . Вектор  доцільно нормувати так, щоб його перша компонента дорівнювала одиниці.

6 У системі рівнянь (3.1)  виконується заміна змінних: , після чого система  набирає  вигляду

 

                 ,                               (3.2)

 

де  – матриця, обернена до матриці .

7 У точці  обчислюються величини:

              (3.3)

 

8 З одержаних значень  (3.3) будується  величина

 

           ,                 (3.4)

 

знаходяться її дійсна   та уявна   частини, обчислюються величини , .

9 Знаходиться головний доданок показника Флокке , поправка до періоду коливань:

 

                            ,                        (3.5)

 

малий функціональний параметр ,  за степенями якого записується розв’язок:

 

                                         ,                               (3.6)

 

період коливань:

 

                                              (3.7)

 

10 Періодичний  розв’язок системи (3.1), з точністю до вибору початкової фази, записується у вигляді

 

    

,            (3.8)

 

 де  .

Практика застосування алгоритму біфуркації народження циклу показала, що у випадку системи трьох та більшого з числа диференціальних рівнянь їх зведення до канонічного вигляду приводить до значного зростання громіздкості аналітичних перетворень, що знижує ефективність методу. Більш ефективним для побудови періодичного розв’язку в цьому випадку є метод Джозефа, який  дозволяє звести - вимірну задачу до двовимірної.