4.1 Біфуркація Хопфа в моделі лазера з дробово-раціональним модулятором добротності ЗА відсутності навантаження

З метою виявлення періодичних коливань, дослідження їх стійкості та побудови розв'язку для моделі лазера з дробово-раціональним модулятором добротності і відсутності навантаження розглядається система диференціальних рівнянь Статца-Демарса в безрозмірній формі (1.2).

Згідно з [10] характер поведінки динамічної системи визначається стаціонарними розв'язками системи (1.2), з яких один тривіальний, тобто відповідає відсутності генерації, інший не має фізичного змісту, бо приводить до від’ємних значень фазових координат, додатних за фізичною суттю. Єдино прийнятним є третій розв'язок

 

,                         (4.1)

.

 

Для існування додатного кореня при додатних  і  слід вимагати виконання нерівності , яка вважається далі виконаною. Матриця Якобі системи (4.1), обчислена в стаціонарній точці, має вигляд

 

                    ,                           (4.2)

 

звідки її власні значення дорівнюють

 

                                                           (4.3)

 

Відповідно до алгоритму біфуркації народження циклу слід знайти таке значення одного з параметрів, при якому власні значення  стають суто уявними. Нехай, наприклад, у ролі біфуркаційного взято параметр . Тоді його біфуркаційне значення знаходиться з рівняння , яке визначає  як неявно задану функцію. Оскільки пізніше значення  знаходиться при певних значеннях інших параметрів, то немає необхідності доводити існування додатної неявно заданої функції . Щоб корені  були справді уявними при біфуркаційному значенні , слід вимагати додатності визначника при визначеному значенні , тобто мусить виконуватись нерівність

 

.

 

Виконання і цієї нерівності дає підстави вважати величину нульовим наближенням  до невідомої частоти модуляції . Нарешті, для можливості виконання АБНЦ слід перевірити умову трансверсальності:

 

 

Отже, при дотриманні одержаних обмежень умови теореми Хопфа виконуються.

Перетворення системи до канонічної форми. Власний вектор матриці (4.2), що відповідає власному значенню, має вигляд . З векторів  утворюється матриця перетворення

 

.

 

Перехід до нових змінних здійснюється за формулою

 

.

 

Перетворена система рівнянь має вигляд

 

,                                                   (4.4)

 

де змінні  слід виразити через  за вищенаведеними формулами. Для знаходження  по (3.3) достатньо залишити в  лише нелінійні доданки другого і третього ступенів за сукупністю змінних . Тоді урізані значення , про що свідчать риски зверху, набирають вигляду

 

 

У результаті отримуємо

 

 

Далі за формулами (3.3) знаходимо

 

 

Відповідно до (3.4) маємо

 

            (4.5)

 

У біфуркаційному значенні параметра  виконується співвідношення . Тоді (4.5) набирає вигляду

      (4.6)

 

Зважаючи на те що , можна опустити три перших доданка у фігурних дужках, бо вони не впливають на знак  за умови, що  достатньо віддалене від нуля (наприклад , що надалі вважається виконаним). Отже, для стійкості періодичного руху достатньо вимагати виконання нерівності

 

 

або     

 

                                                  .                                      (4.7)

 

Цей критерій спочатку перевіряється для частинного випадку, коли . Тоді (4.1) дає

 

 

Підставлення цього значення в умову  приводить до рівняння

 

,                 (4.8)

 

де позначено

Проаналізуємо рівняння (4.8) за критерієм стійкості системи. Якщо взяти параметр , то один із коренів приводить до , що відповідає відсутності генерації, другий  приводить до , що не має фізичного сенсу. Третій корінь  дає . Але ці значення не задовольняють критерій (4.8). Аналогічний висновок можна зробити в загальному випадку, коли слід розглянути систему

 

           (4.9)

 

де  даються в (4.1). Якщо, вибирати з фізично прийнятого інтервалу, то згідно з першим рівнянням (4.9), в якому , параметр  мусить бути малою величиною. Так, значення  дають нев’язку порядку , а для другого . Але і в цьому випадку критерій стійкості порушується, і граничний цикл є нестійким.

            Більш детально цей випадок розглянуто у [40,41].