4.2.1 Стаціонарні розв’язки і біфуркаційні значення параметрів

Система (4.10) має 5 параметрів  і , кожен з яких можна розглядати як біфуркаційний. У цьому підрозділі буде зосереджена увага на трьох з них:  і . Рівняння, що визначають стаціонарний розв’язок, мають вигляд:

 

                                           (4.11)

 

З матриці Якобі системи (4.10), обчисленій в стаціонарному розв’язку,

 

                                               (4.12)

 

знаходяться власні значення:

 

,                              (4.13)

                    

 

Для того щоб стаціонарний розв’язок був стійким фокусом, як того вимагає теорема Хопфа, необхідно і достатньо, щоб власні значення  були комплексно спряженими, а їх дійсні частини від’ємні. Комплексна спряженість вимагає, у свою чергу, додатності . Як легко бачити, обидві ці вимоги будуть виконані, якщо . У біфуркаційному значенні параметра виконується рівняння

 

.

 

Зважаючи на значення параметра , праву частину цього рівняння можна взяти за нуль, тобто записати його у вигляді

 

.                                          (4.14)

 

Спочатку візьмемо за біфуркаційний параметр . Тоді друге рівняння (4.11) зручно записати у вигляді

 

,           (4.15)

 

де параметр  береться таким, що дорівнює характерному значенню . Рівняння (4.15) має один нульовий розв’язок, що відповідає відсутності генерації потоку фотонів, один від’ємний, що не має фізичного змісту, і лише один дійсний і додатний:

 

     (4.16)

 

де передбачається виконання нерівності . Для знаходження біфуркаційного значення параметра слід підставити значення  із (4.16) в (4.14), що дає рівняння

 

.             (4.17)

 

Воно має три зміни знаків коефіцієнтів і за ознакою Декарта серед його коренів міститься щонайменше один додатний. Знаходження коренів рівняння (4.17) для різних значень параметра навантаження  доцільно пов’язувати з конкретним кристалом, що використовується в резонаторі лазера. Для рубінового резонатора  і рівняння (4.17) набирає вигляду

 

.                       (4.18)

Легко показати, що воно має три дійсних корені, розміщених в інтервалах (0; 1), (1; 2), (2; 3) для r з інтервалу (1; 10). Однак корені з інтервалу (0; 1) не задовольняють нерівність , тому відкидаються. У таблиці 4.1 наведені біфуркаційні значення  для певних значень параметра , а також відповідні їм значення стаціонарних розв’язків  та показник Флокке . Придатність тих чи інших стаціонарних розв’язків і біфуркаційних значень параметрів буде перевірятись в наступних пунктах вимогою стійкості граничного циклу.

Матриця Якобі (4.12) при біфуркаційному значенні параметра  має вигляд

.                                         (4.19)

 

Її визначник  дає квадрат першого наближення до частоти модуляції .

Після перевірки умови трансверсальності будується власний вектор матриці (4.19), за допомогою якого вводяться нові змінні , що дозволяє звести систему (4.10) до вигляду

 

 

Для застосування алгоритму біфуркації народження циклу в правих частинах нової системи необхідно залишити квадратичні і кубічні доданки по сукупності змінних . При  таких обмеженнях праві частини нової системи набирають вигляду

 

     (4.20)

 

Згідно з (1.17) комплекси  дорівнюють

 

                           

                        (4.21)

Величина  обчислюється із виразу (1.18):

.

 

Оскільки , то знак  визначається доданками, що мають порядок . Тоді доданки порядків   можна відкинути, що дає критерій стійкості

 

                                (4.22)

 

У цих формулах  визначається залежністю (4.16), а  знаходиться з (4.17). Отже, всі компоненти критеріїв залежать від параметрів , для останнього з яких взято значення , що дозволило знайти  в аналітичному вигляді. Після вибору   і  і визначення  необхідно перевірити виконання нерівності . Перевірка критерію (4.22) здійснена далі для  і деяких значень  (див. таблицю 4.1).

 

Таблиця 4.1 - Залежність параметра біфуркації , стаціонарної інтенсивності та показника Флокке  від коефіцієнта нелінійності

 

Для побудови наближеного періодичного розв’язку знайдемо , малий параметр  та період модуляції :

 

              (4.23)

 

Далі за формулами (3.8) записуємо розв’язок системи (4.10)

 

                                       

                        (4.24)

 

Потужність випромінювання, що виділяється на корисному навантаженні, розраховується за формулою [5]

 

                                                 (4.25)

 

Підставлення в (4.25) першої компоненти розв’язку (4.24) дає

 

     (4.26)

 

Розрахунки показали, що завдяки модуляції відбувається приріст потужності порівняно з її значенням у стаціонарному режимі в межах 10%, що може знайти практичне застосування.