4.2.3 Вибір інших біфуркаційних параметрів

При будь-якому виборі біфуркаційного параметра стаціонарний розв’язок знаходиться із рівняння (4.15). Але якщо в ролі біфуркаційного вибрати параметр , то вільними параметрами будуть  і , і  не можна вибрати довільно, як раніше.

Якщо записати розв’язок через формули Кардана, то його вигляд буде надто громіздким. Тому обмежимося біфуркаційним значенням, тобто виключимо залежність  від . Підставлення біфуркаційного значення  у друге рівняння (4.11) дає

 

.                                             (4.28)

 

Звідси знаходиться стаціонарний розв'язок, обчислений при біфуркаційному значенні :

 

                                   (4.29)

 

Одержане значення  незручне тим, що воно залежить від . Останнє можна включити, якщо знайти  з (4.14) і з (4.29) і прирівняти їх:

 

.

З одержаного рівняння знаходимо

 

.                   (4.30)

 

Остаточний вигляд критерію отримаємо після підставлення значень  і  в (4.22). Оскільки залежність  від  тут виключена, то наступні похідні, необхідні для побудови розв'язку, спрощуються до виразів

 

 

Для запису малого параметра є все необхідне, що дозволяє скористатися формулами (4.24) і записати розв'язок. Однак критерій стійкості у цьому випадку має громіздкий вигляд і незручний в користуванні. Значення  доцільно підставити в критерій (4.22), після чого він набирає вигляду

 

                (4.31)

 

З нерівності  знаходиться інтервал стійкості для параметра :

                                  (4.32)

 

Залишається задовольнити рівняння (4.28). Якщо  взяти за новий параметр, то можна знайти , або . У першому випадку

 

                             (4.33)

 

Підставлення (4.33) у (4.32) приводить до нерівності, яка задовольняється, якщо параметр  взяти з інтервалу

 

,                 (4.34)

 

Для параметра малості одержимо

 

                   (4.35)

 

Розв'язок знаходиться з (4.24), куди слід підставити значення  та параметр

.                         (4.36)

 

При виборі , що задовольняє нерівність (4.34), знаменник в  буде додатним. Розрахунок граничного циклу починається з вибору  і , чим визначається відповідно до (4.34) нижня межа для . Вибір  і підставлення його значення в (4.33) визначає , що дає змогу знайти біфуркаційне значення .

Якщо до вільних параметрів бажано віднести  і , то з рівняння (4.28) знаходимо

                                     (4.37)

 

Підставлення (4.37) у (4.32) зводить останню нерівність до вигляду

 

 

Вона виконується, якщо  знаходиться в інтервалі , де

 

                  (4.38)

 

Тепер значення  має вигляд

 

Вираз для  слідує із (4.35), а розв'язок з (4.24), куди слід підставити нові значення  і

Якщо в ролі біфуркаційного взяти , то  знаходиться з того ж рівняння (4.15), де вільними параметрами будуть Тому можна взяти попередню залежність  і одержати значення (4.16) для . Його Підставлення в (4.14) приводить до рівняння (4.17), яке записується відносно

 

 

Його дійсний додатний розв'язок

 

                (4.39)

 

існує при виконанні нерівностей

 

 

Підставлення рівнянь (4.16) і (4.39) в умову (4.22) дає вираз

 

 

з урахуванням якого критерій стійкості набуває вигляду

 

                                  (4.40)

 

де вільними є параметри , .

Розглянемо конкретний приклад. Якщо , то  . Підставлення цих значень у критерій (4.40) дає від'ємну ліву частину  З огляду на умову  одержаний результат має звужене значення. Цей недолік можна усунути попереднім способом, а саме, взявши  як новий параметр (див. нижче).

Підставлення біфуркаційного значення  в рівняння (4.15) перетворює його до вигляду

 

 

Звідси знаходимо . Після підставлення значень  і  отримуємо

 

                    (4.41)

 

У результаті критерій стійкості зводиться до нерівності

 

 

де  збігається з лівою частиною нерівності, наведеною після (4.37). Отже, критерій виконується, якщо  знаходиться в інтервалі (4.38). Значення малого параметра  становить

 

 

Підставлення знайдених значень ,  в (4.24) дає відповідний розв'язок. У цьому випадку значення похідних  такі:

 

 

 

Якщо біфуркаційним параметром вважати  і підставити його значення в (4.15), то з останнього знаходиться . Підставлення значень  і  в критерій (4.22) приводить його до вигляду:

 

 

Виконання нерівності буде гарантовано при виконанні умов  Якщо критерій стійкості факторизується, то він зводиться до набору критеріїв, кожен з яких є взаємно незалежним. Якщо, наприклад,  то , і ліва частина попередньої нерівності набирає від'ємного значення  У системі координат  відрізок  знаходиться між гіперболами, що проходять в першому квадранті:  У системі координат  параметр  знаходиться над прямою , що проходить в першому і другому квадрантах.

Отже, ми отримали критерії стійкості періодичних коливань інтенсивності поля фотонів в умовах біфуркації Хопфа по одному із параметрів управління; інтервали стійкості для параметрів накачки і стаціонарного значення інтенсивності. Виявлено три види функціонального виходу приладу: модуляція нестійка, стійка з широким інтервалом стійкості, стійка з вузьким інтервалом стійкості. Теоретично підтверджено існування багатьох порогів для параметра накачки і отримана функціональна залежність від інших параметрів.