5.1 Режим неперервної періодичної генерації в балансній моделі твердотільного лазера

Вивчається динаміка напівкласичної балансної моделі, яка порівняно з класичною моделлю Статца-Демарса враховує два додаткові параметри – відносну відстройку власної частоти резонатора від центра спектральної лінії та – відношення констант релаксації поля і поляризації атомної системи.

 

Стійкість стаціонарної генерації.

З метою з’ясування умов виникнення біфуркації Хопфа в балансній моделі одномодового лазера розглядається система (1.3), стаціонарний розв’язок якої знаходиться з рівнянь

 

                                                             (5.1)

 

Система (1.3) переходить в систему рівнянь Статца-Демарса, якщо знехтувати значенням  як малим параметром, та за умови, що центр спектральної лінії  збігається з власною частотою резонатора , тобто . За визначених умов стаціонарний розв’язок (5.1) також переходить в стаціонарний розв’язок класичної моделі Статца-Демарса. З аналізу (5.1) випливає, що для забезпечення додатності значень  потрібно вимагати виконання нерівності . Для класичної моделі нерівність  є умовою збудження генерації потоку фотонів, таким чином, урахування параметра  підвищує поріг збудження.

Матриця Якобі системи (5.1), обчислена у стаціонарному розв’язку, має вигляд

 

,

 

її власні значення

 

             .     (5.2)

 

Оскільки ,  набувають додатних значень,  , доходимо висновку, що в стаціонарному розв’язку практично завжди знаходиться стійкий фокус, що збігається з класичною моделлю Статца-Демарса. Однак якщо у випадку класичної моделі декремент і частота коливань мали відповідно значення , , то для напівкласичної  моделі маємо

 

 

З аналізу (5.2) випливає, що дійсна частина комплексних коренів не може перетворитися в нуль, тобто коливання будуть згасаючими і біфуркація Хопфа неможлива, що характерно  також для  класичної моделі лазера Статца-Демарса [11].  Отже,  врахування величин  і  не змінює фазового портрета системи, а лише впливає  на деякі його характеристики.

 

Умови виникнення біфуркації Хопфа.

 Система рівнянь (1.3), що описує динаміку лазера, за наявності модулятора добротності  має вигляд

 

                          (5.3)

 

де - інтенсивність поля випромінювання фотонів; - різниця заселеності рівнів атомів; - відношення констант релаксації поля і поляризації атомної системи; - параметр накачки;  - відносна відстройка власної частоти резонатора від центра спектральної лінії , де - швидкість релаксації поляризації атомної системи; – великий параметр в теорії лазерів класу В. Функція  задає нелінійні ефекти взаємодії потоку фотонів у модуляторі добротності резонатора за допомогою  параметрів керування . Всі величини – параметри, фазові координати і час - подано в безрозмірній формі.

Стаціонарний розв’язок динамічної системи (5.3) знаходиться з рівнянь

 

                             (5.4)

 

Матриця Якобі правих частин системи, обчислена у стаціонарному розв’язку, набирає вигляду

 

, ,

 

її власні значення є такими:

 

               (5.5)

     Згідно з теоремою Хопфа в системі (5.3) виникають періодичні коливання, якщо власні значення матриці Якобі є суто уявними.  Власні числа (5.5) є суто уявними при виконанні двох умов, одна з яких зводиться до рівняння

 

                       ,                      (5.6)

 

а друга до нерівності . Наявність великого параметра   дозволяє звести рівняння (5.6) до вигляду , звідки знаходиться біфуркаційне значення одного з параметрів моделі. За визначених умов матриця Якобі має суто уявні власні значення 

 

,

 

чим одночасно знайдено перше наближення  до невідомої частоти модуляції .

У роботі [43] проведено біфуркаційний аналіз динамічної системи, що дозволило не тільки з’ясувати умови виникнення біфуркації Хопфа, а також отримати критерій стійкості періодичних коливань інтенсивності:

 

,

 

де   , – коефіцієнти ряду Маклорена функції  при степенях .

Урахування значення

                        ,                       (5.7)

 

яке отримано з рівняння (5.4), приводить критерій стійкості до вигляду 

 

                 (5.8)

 

Моделювання модулятора добротності резонатора.

 Одержання практично важливих результатів можливо за умов конкретизації функціональної залежності . У роботі розглядається напівкласична балансна модель з нелінійним модулятором, що враховує багатофотонну взаємодію. Лазерна модель досліджується за наявності квадратичного, кубічного та біквадратичного модуляторів добротності з двома параметрами керування, які послідовно розглядаються як біфуркаційні.

У першому випадку розглядається квадратична залежність модулятора добротності  , де  і – додатні параметри керування.

Елементи ,  критерію (5.8) знаходяться як коефіцієнти многочлена  при степенях  і мають вигляд , .

 Спочатку в ролі біфуркаційного викорустовують параметр . З  рівняння  знаходиться його біфуркаційне значення: , тоді    . Остання нерівність випливає з вимоги  додатності , що накладає обмеження на значення другого параметра  керування: . Враховуючи, що умовою стійкості періодичних коливань, згідно з теоремою Хопфа, є від’ємність показника Флокке, після підстановки знайдених значень в залежність (5.8) отримаємо критерій стійкості

 

                                 .                             (5.9)

 

Розв’язуючи нерівність (5.9) та враховуючи обмеження (5.7), отримаємо інтервал стійкості для параметра накачки :

 

 .                          (5.10)

 

Необхідна умова існування одержаного інтервалу полягає у виконанні нерівності

, звідки випливає інтервал для параметра керування  : , який уточнює попередній: .

У другому випадку як біфуркаційний береться параметр , тоді ,. З останньої нерівності знаходиться  обмеження .  За допомогою аналогічних перетворень одержуємо  інтервал стійкості для параметра накачки

 

                                .                             (5.11)

 

Умова існування  інтервалу (5.11)   потребує виконання нерівності  , яка  уточнює попередню для параметра керування .

 

Дослідження властивостей моделі чисельними методами.

Отримані аналітичні результати підтверджуються  чисельним розв’язком системи (5.3) методом Рунге-Кутта при   [44] . У зазначеній роботі для з’ясування впливу керуючих параметрів на режими поведінки лазера розглядається біфуркаційна діаграма на площині , яка визначає області існування від’ємного значення дійсної частини показника Флокке (рис.5.1). З рисунка бачимо, що при заданому параметрі накачки  та відомих  і  на площині  формується замкнена крива, яка відповідає . В області, яка обмежена цією кривою, дійсна частина показника Флокке є від’ємною, тобто всередині області має реалізуватися стабільний коливальний режим. Суттєво важливим є той факт, що при великих інтенсивностях загасання потоку фотонів (великих ) і при будь-яких значеннях інтенсивності генерації фотонів у модуляторі (довільних ) стабільний коливальний режим не реалізується. При малих значеннях  і збільшенні значень  система здатна перейти у режим стійких коливань внаслідок біфуркації Хопфа. Якщо величина  продовжує збільшуватися, то система виходить із режиму стійких коливань, тобто маємо реверсивну біфуркацію Хопфа. Таким чином, виникнення та руйнування стійкого періодичного випромінювання є наслідком однієї причини – зростання інтенсивності виробництва фотонів у модуляторі.

Поведінка системи на фазовій площині  при різних співвідношеннях між параметрами керування  і  наведена на рис.5.2.

Як показує рис.5.2а, в області 1 (див. рис.5.1) на фазовій площині існує стійкий фокус . На лінії  відбувається класична біфуркація Хопфа, коли утворюються граничні цикли на фазовій  площині при будь-яких початкових умовах в околі центра, що раніше відповідав фокусу (рис.5.2б). В області 2 (рис.5.1) виникає єдиний стійкий граничний цикл (рис.5.2в) – фокус стає нестійким і траєкторії, що починаються з нього, потрапляють на стійкий граничний цикл зсередини, а траєкторії, що починаються при великих початкових  значеннях закручуються на цикл ззовні. Виходячи з області 2 через праву (верхню) границю, система зазнає біфуркаціі Хопфа (на лінії фазові портрети мають такий вигляд, як на рис.5.2б).

 

 

Аналіз отриманих результатів показав [44], що змінюючи значення параметрів керування модулятором добротності можна перевести резонатор із стану затухаючого випромінювання у стан стійких коливань. Суттєво важливим є те, що модулятор має працювати як підсилювач сигналу (завдяки параметру ), що виходить із кристала, в якому утворюються фотонний потік,  але  підсилення такого сигналу  обмежується  параметром . При цьому система зазнає реверсивного переходу утворення стійкого коливального режиму у достатньо широкому діапазоні параметра підсилення.

 

 

Вибір інших модуляторів добротності

Наступною використовується  кубічна залежність модулятора добротності від інтенсивності поля фотонів  де – додатні параметри.  Для цієї моделі отримаємо:  .

У випадку біфуркаційного параметра  елементи критерію стійкості набувають значень , , звідки . Підставлення одержаних значень  до виразу (5.8) дозволяє отримати критерій  стійкості періодичних коливань

 

                                        ,                       

 

 тоді інтервал стійкості для параметра накачки  набирає вигляду

 

                                     .               (5.12)

 

Умова існування інтервалу (5.12) приводить до нерівності , яка уточнює попередню  для параметра керування .

У випадку біфуркаційного параметра :   отримаємо  , звідки , а інтервал стійкості для параметра накачки  набирає вигляду

 

                            .                              (5.13)

 

Умовою існування інтервалу (5.13) є виконання нерівності , яка зводиться до нерівності , що уточнює попередню для параметра керування .

Наступним розглядається біквадратичний модулятор добротності з двома параметрами керування [45]: . Для цього випадку знайдено .

При біфуркаційному значенні  елементи критерію стійкості можна записати так:  . З останньої нерівності випливає обмеження: . Підставлення одержаних значень елементів до залежності  (5.8) дозволяє знайти інтервал стійкості для параметра накачки

 

,                  (5.14)

 

звідки випливає умова його існування . Остання нерівність  зводиться до квадратної нерівності відносно невідомої :

 

,

 

 яка виконується для значень  з інтервалу , де , . Звідси можна знайти інтервал стійкості для параметра керування :

 

   .                           (5.15)

 

 Для біфуркаційного значення  отримаємо , , звідки .  Для параметра накачки   знайдено інтервал  стійкості

 

                     ,              (5.16)

 

який існує за умови  виконання нерівності . Умова існування інтервалу (5.16) зводиться до квадратної нерівності відносно :

 

.

 

Розв’язання квадратної нерівності дозволяє знайти інтервал стійкості для параметра керування :

 

.                           (5.17)

 

Приклад розрахунків елементів граничного циклу.

Аналітичні залежності, що знайдено в результаті біфуркаційного аналізу моделі, дають можливість проводити розрахунки елементів граничного циклу. При квадратичному модуляторі добротності у випадку біфуркаційного параметра  показник Флокке  (5.8), від’ємність якого відповідає стійкості періодичних коливань, набуває таких значень

 

.

 

Оскільки множник  змінний за величиною, але завжди додатний, то знак  визначається лише знаком виразу . Однак визначення амплітуди коливань вимагає врахування  знакосталих множників. У випадку  для забезпечення стійкості періодичних коливань параметр керування   повинен набувати значень з інтервалу . Остаточно вибір параметру  визначається рівнем параметра накачки. З залежності (5.10) випливає, що збільшення параметра  приводить до зменшення верхньої межі максимального значення параметра накачки, а отже, і до зменшення потужності випромінювання лазера. На основі цих міркувань для параметра  вибрано інтервал зміни . За формулою (5.10) обчислюється верхня межа  параметра накачки, а нижня визначається умовою збудження генерації . Запас стійкості періодичної генерації визначається ще двома множниками  та , добуток яких утворює число порядку . За результатами розрахунків для   побудовано графіки залежностей параметра накачки та критерію стійкості  від параметра керування  (рис.5.3), які демонструють, що стійкість випромінювання зростає в міру зменшення параметра накачки.

У випадку біфуркаційного параметра  показник Флокке (5.8) набирає вигляду

додатність чи від’ємність якого визначається виразом , оскільки . Запас стійкості періодичної генерації визначається значенням . За результатами розрахунків для  верхньої межі параметра накачки та значення критерію  побудовано графіки залежностей  і  від параметра керування   (рис. 5.4). Дані розрахунків свідчать про протилежну залежність: стійкість випромінювання зменшується в міру зменшення параметра накачки.

Для кубічного модулятора добротності у випадку біфуркаційного параметра  показник Флокке (5.8) набирає вигляду

 

.

 

Якщо , то для забезпечення стійкості періодичних коливань параметр керування   повинен задовольняти нерівність: . Графіки залежностей параметрів накачки  та критерію стійкості  від параметра керування представлені на рис. 5.5.

У випадку біфуркаційного параметра  показник Флокке (5.8) набирає вигляду 

 

.

 

Графіки залежностей параметра  і критерію стійкості  від параметра керування наведені на рис. 5.6, що засвідчує спадання стійкості за типом релаксаційних коливань малої амплітуди.

У випадку біквадратичного модулятора добротності для біфуркаційного параметра  показник Флокке  (5.8) набуває значення

 

У цьому випадку вибором  за формулою (5.15) визначається інтервал зміни параметра , за формулою (5.14) знаходяться нижня та верхня межі  параметра накачки. Результати розрахунків інтервалів стійкості для параметра накачки , значення множника  залежно від параметра  для  наведено в табл.5.1.

 

Таблиця 5.1 - Залежність  параметра накачки та критерію стійкості від параметра керування

 

 

Дані таблиці показують, що при  , тоді критерій стійкості набуває від’ємного значення незалежно від параметра накачки та стаціонарного розв’язку (точка абсолютної стійкості) та набирає максимального значення за абсолютною величиною.

У випадку біфуркаційного параметра показник Флокке має вигляд

 

 

Розрахунок елементів починається з визначення інтервалу для параметра керування  за формулою (5.17). Результати розрахунків показують, що при  елементи граничного циклу набувають значень: , , множник  стає від’ємним незалежно від  та . У цьому випадку  не має обмеження, критерій  набуває максимального значення за абсолютною величиною.

Графіки залежностей абсолютних величин критеріїв стійкості періодичної генерації від параметрів керування наведено на рис. 5.7, рис. 5.8. Аналіз графіків показує, що множники  мають дві точки максимуму та одну точку мінімуму, а в коренях цих множників  стійка генерація випромінювання переходить в нестійку. Оскільки кожне  визначає свій інтервал зміни параметра керування, то існує множина інтервалів стійкості, які відокремлені один від одного інтервалами нестійкості.

Отримані аналітичні залежності дозволяють вивчати  вплив параметрів лазера на його динаміку. Для з’ясування впливу параметра   на довжину інтервалу стійкості для параметра накачки необхідно знайти похідні по змінній  від правих кінців інтервалів (5.10), (5.11), (5.12) – (5.14), (5.16). Зокрема, для квадратичного модулятора добротності у випадку біфуркаційного параметра  маємо:  . Оскільки , то похідна додатна, звідки випливає, що зростання параметра  приводить до збільшення довжини інтервалу стійкості для  параметра накачки . У випадку біфуркаційного параметра  можна записати: , оскільки . Таким чином, зростання параметра  приводить до збільшення інтервалу стійкості і в цьому випадку. У випадку кубічного та біквадратичного модуляторів добротності зростання параметра  також приводить до збільшення інтервалу стійкості для параметра накачки.

При проведенні біфуркаційного аналізу динамічної моделі (5.3) отримано залежності, що не містять параметра , оскільки параметр  був поданий як функція решти параметрів. Ця обставина, з одного боку, полегшила знаходження критерію стійкості та інтервалів стійкості, а з іншого стала на перешкоді вивченню впливу параметра  на динаміку випромінювання фотонів в періодичному режимі. У роботі [46] було застосовано  інший підхід, що дозволило вивчити вплив сумарного  параметра  на динаміку генерації. Зокрема, встановлено, що збільшення параметра  приводить до зменшення частоти модуляції , збільшення періоду коливань . Показано, що зростання  приводить до зменшення інтервалу стійкості параметрів керування. Параметр  має протилежний вплив, а саме його збільшення приводить до збільшення інтервалу стійкості параметрів керування. Однак, вплив параметра  значно менший ніж параметра , оскільки обмеження накладені на модель (5.3) роблять його величину порядку . Крім того, зростання параметра  приводить до збільшення  параметра накачки, при якому можливий стаціонарний розв’язок системи (5.3).

 

Побудова розв’язку динамічної моделі

Згідно з алгоритмом біфуркації народження циклу за формулами (3.4)– (3.7) знаходяться його елементи. Врахування значень зазначених елементів та матриці перетворення системи  дозволяє отримати періодичний розв’язок динамічної системи:

 

       (5.18)

 

Аналіз виразу (5.18) показує, що розв’язок містить елемент , який залежить від параметрів керування. Отже, вибір параметра керування істотно впливає і на сам розв’язок.  Наприклад, як показано у [46], у випадку біквадратичного модулятора при  періодична генерація є стійкою для будь-яких . Одночасно сам розв’язок набирає найпростішого вигляду

 

                             .      (5.19)

 

Цей факт можна використати для дослідження динаміки лазера за межами інтервалів стійкості деяких параметрів, що становить окрему проблему [47, 48]. Розв’язок (5.19) в квадратичному наближенні за параметром  набирає вигляду

 

,   ,

де   ;  ;

       ;    .

 

Аналітичний вигляд граничного циклу може бути поданий у вигляді

 

,

 

де   .

 

Важливим результатом біфуркаційного аналізу системи (5.3) є знаходження  першого наближення до невідомої частоти модуляції  яку називають частотою Рабі [10]. Частота Рабі для класичної моделі Статца-Демарса  визначається як  [10]. У роботі [46] показано, що частота Рабі для моделі Статца-Демарса  є частковим випадком одержаної формули. Зокрема, для квадратичного модулятора добротності отримано

 

.                        (5.20)

 

Для класичної моделі Статца-Демарса [10] за відсутності модулятора добротності , ,, тому , . При цих значеннях параметрів частота (5.20) набирає вигляду , тобто, є частотою Рабі класичної моделі.

Зазначений результат залишається правільним для випадку всіх трьох моделей. Зокрема, у випадку біквадратичного модулятора добротності  рівняння (5.4) зводиться до залежності  , тоді частота  набирає вигляду

 

                   .                (5.21)

 

Оскільки у випадку класичної моделі , то з формули (5.21) випливає, що . Враховуючи додатність величини  (5.21), можна отримати інший вигляд умови модуляції  . Для моделі Статца-Демарса остання нерівність зводиться до нерівності , тобто умова модуляції переходить в умову генерації випромінювання класичної моделі.

Таким чином, у результаті проведення біфуркаційного аналізу балансної моделі встановлено, що внесення в резонатор твердотільного лазера модулятора добротності викликає стійку амплітудну модуляцію випромінювання при біфуркаційному значенні параметра керування модулятором добротності. Теоретично підтверджено експериментальні факти  існування багатьох порогів стійкості для параметра накачки, продемонстрована наявність достатньо широких інтервалів змінювання біфуркаційного параметра для забезпечення стійкого режиму періодичної генерації. Знайдено аналітичні оцінки біфуркаційних порогів, з’ясовано умови стійкості періодичної генерації. Одержано періодичні розв’язки для інтенсивності випромінювання та інверсної заселеності рівнів. Запропоновано методику розрахунку елементів граничних циклів.