5.2 Біфуркація Хопфа в балансній моделі з кубічним модулятором добротності

Балансна система рівнянь лазера (1.3) отримана методом адіабатичного виключення змінних з більш складної системи [10], яка, крім інших, містить параметри:  – відносна відстройка частоти поля від частоти резонатора,  – відносна відстройка частоти поля від центра спектральної лінії. Між параметрами , ,  існує залежність: , де  – відношення констант релаксації поля і поляризації атомної системи. Якщо значення параметра  наближаються до нуля, то виникає можливість вивчити вплив відносної відстройки частоти поля від центра спектральної лінії на характеристики динаміки лазера,  що описується  системою (1.4). Стаціонарний розв’язок системи, як і при проведенні попередніх досліджень, віднесено до параметрів.

Модель твердотільного лазера (1.4) за наявності кубічного модулятора добротності  має вигляд

 

                                                         (5.22)

де   і  - параметри керування.

Характер поведінки динамічної системи визначається біфуркаційною діаграмою (рис.5.9), де лінії біфуркації зображені при різних значеннях параметра накачки.

В області нижче пунктирної лінії (наприклад, 1) стаціонарний стан системи визначається однією особливою точкою , розмищеною на лінії  (рис. 5.10а). При збільшенні величини  (перетині пунктирної лінії) в системі відбувається біфуркація народження двох особливих точок  та  (рис. 5.10б), які в області між пунктирною та суцільною лініями є відповідно сідлом та нестійким фокусом. Якісна зміна поведінки системи в околі точки  відбувається  при подальшому збільшенні , а саме при перетині суцільної лінії (рис.5.10в). При потраплянні в область за суцільною лінією точка  стає стійким фокусом (рис.5.10 г). Збільшений масштаб фазового портрета в околі точки  (рис. 5.2в), наведено на рис. 5.11.

Таким чином, суцільна лінія (рис.5.9) відповідає біфуркації втрати стійкості точки . Оскільки суцільна лінія одержана за умови нульового значення  відповідного показника Ляпунова та від’ємності показника Флокке, то біфуркація втрати стійкості вузлової точки є біфуркацією Хопфа. З одержаних результатів випливає, що у системі реалізується два типи біфуркації. Перший з них характеризує виникнення двох додаткових стаціонарних станів, а другий пов’язаний із втратою стійкості фокуса. При збільшенні параметра накачки  змінюється лише положення цих точок та збільшується критичне значення параметрів біфуркацій.

Детальний біфуркаційний аналіз системи (5.22) проведено в роботі [49], що дозволило з’ясувати умови виникнення біфуркації Хопфа, дослідити стійкість періодичних коливань та побудувати періодичний розв’язок динамічної системи. Наведемо основні результати роботи  [49].

Аналітичне дослідження системи (5.22) проводиться в околі нетривіального стаціонарного розв’язку, який знаходиться з рівнянь

 

                  (5.23)

 

Власні значення матриці Якобі правих частин системи (5.22) мають вигляд

                                       (5.24)

 

Згідно з теоремою Хопфа в системі (5.22) виникають періодичні коливання, якщо власні значення матриці Якобі є суто уявними. В першому випадку як біфуркаційний розглядається параметр , біфуркаційне значення якого знаходиться з  рівняння

 

                              .                           (5.25)

 

Для біфуркаційного значення параметра     знайдено власні значення

,  ,

 

 які насправді є суто уявними,  є першим наближенням до невідомої частоти модуляції . Перевірка умови трансверсальності приводить до результату  . Отже, виконуються всі умови теореми Хопфа, звідки випливає, що в системі існують періодичні коливання за умови їх стійкості.

 

Застосування алгоритму біфуркації народження циклу.

В рамках виконання алгоритму біфуркації народження циклу в системі (5.22) відбувається заміна змінних

 

,    ,

 

у результаті система набирає вигляду

 

                                                               (5.26)

 

Для застосування алгоритму біфуркації народження циклу в правих частинах системи (5.26) достатньо залишити квадратичні і кубічні доданки по сукупності змінних . Лінійна частина системи враховується автоматично при побудові розв’язку, а доданками,  порядок яких вище третього, нехтують, оскільки передбачається малість відхилення фазових координат від стаціонарних значень .  При таких обмеженнях  урізані праві частини системи (5.26), які позначаються через , мають вигляд

 

.

 

З частинних похідних  другого і третього порядку функцій , обрахованих у початку координат, за формулами (3.3) знаходяться  комплекси :

 

 

з яких утворюється величина  (3.4). Дійсна частина , що визначає знак показника Флокке, має вигляд

 

              .         (5.27)

 

При цьому передбачається, що  достатньо віддалене від нуля, досить вважати, що  .

Урахування порядку параметра  та значень ,   дозволяє звести вираз  (5.27) до вигляду 

 

.

 

З вимоги від’ємності останнього виразу  випливає критерій стійкості періодичної генерації

 

                     ,                       (5.28)

 

який зводиться до інтервалів стійкості для стаціонарного розв’язку та параметра накачки

                         ,               (5.29)

                                .                                      (5.30)

 

Наприклад, для неодимового резонатора   у випадку  інтервал  стійкості для  приймає значення .

Виконаний аналіз дозволяє здійснити зворотний хід: вибираючи наперед значення , можна встановити межі зміни параметра накачки і знайти значення параметрів керування  і  для забезпечення стійкості періодичного розв’язку.

Для з’ясування впливу відносної відстройки на довжину інтервалу стійкості стаціонарної генерації знаходиться відношення приросту інтервалу до довжини інтервалу, що відповідає відсутності відстройки , тобто . Тоді

 

,

 

звідки, , тобто відносна відстройка звужує інтервал стійкості для . Питання про  вплив  параметра  на інтервал для параметра накачки   з’ясовується через знаходження  різниці інтервалів:

 

.

 

Оскільки , тоді  , тобто відносна відстройка розширює інтервал стійкості для параметра накачки . Аналіз залежності (5.30) показує, що приріст інтервалу стійкості сповільняється в міру зростання .

Вибір інших зв’язаних параметрів.

Система рівнянь (5.22) містить шість параметрів, на два з яких   і  накладено обмеження. Інші чотири  не  мають певного обмеження своїх величин.  При біфуркаційному аналізі  на них накладаються два зв’язки у вигляді рівнянь (5.23) і (5.25), звідки можна вилучити будь-яку пару параметрів, які доцільно назвати зв’язаними. Як відмічено в [10], практично кожний параметр можна розглядати як біфуркаційний, а також певною мірою, як параметр керування динамікою лазера. У той самий час практика застосування алгоритму біфуркації народження циклу показує, що перехід від одного біфуркаційного параметра до іншого може мати важливі наслідки для з’ясування особливостей динаміки лазерів у періодичному режимі генерації. 

При виборі як зв’язаних параметрів  і  з рівняння (5.25) знаходиться біфуркаційне значення параметра : . Підставлення знайденого значення дозволяє звести перше рівняння (5.23) до квадратного відносно , звідки

 

У цьому випадку , показник Флокке набирає вигляду

 

.

 

З вимоги від’ємності показника Флокке випливає  критерій стійкості: . Враховуючи що  від’ємне, а  стаціонарний розв’язок  повинен набувати додатних значень, отримаємо  . Однак знайдені значення  не належать  одержаному  інтервалу стійкості для параметра керування .  Отже, при виборі в якості зв’язаних параметрів  і  не існує стійких періодичних коливань. Це не означає, що визначений випадок не становить інтересу для дослідження, адже нестійкість періодичного розв’язку може викликати повторну біфуркацію, що неодноразово підтверджувалось в експериментах [10].

 При виборі як зв’язаних параметрів   і  з рівняння (5.25) знаходиться біфуркаційне значення параметра : , його Підставлення в перше рівняння (5.23) дозволяє отримати залежність . Необхідною умовою існування додатного кореня є виконання нерівності . З вимоги додатності параметра  випливає , тобто допустимий зв’язок можливий при малих значеннях  параметрів   і . Враховуючи що , маємо , тоді показник Флокке з використанням  записується так:

звідки   . Оскільки  ,  то наявність відстройки  звужує  інтервал стійкості для параметра керування .

Наступна пара поєднує параметри  і . Останній знаходиться з рівняння (5.23): , підставлення якого в рівняння (5.25) дозволяє знайти біфуркаційне значення параметра накачки , за умови виконання нерівності . У цьому випадку , , показник Флокке має вигляд

що дозволяє знайти інтервал стійкості для параметра :  . Аналіз знайденого інтервалу показує, що параметр  звужує інтервал стійкості і в цьому випадку. Накладені обмеження на параметри , ,  залишають для них досить вузькі інтервали змінювання, що відповідає низькому рівню потужності генерації випромінювання.

            У випадку зв’язаних параметрів   і  отримано:  , , , . Показник Флокке записується так:

 

.

  

Для додатних  стійкого циклу не існує, а для від’ємних значень знайдено . Як і в попередніх випадках, наявність відстройки зменшує інтервал стійкості.

 

Аналіз проводиться аналогічно до попереднього випадку.

Проведений біфуркаційний аналіз виявив існування інтервалів стійкості режиму періодичної генерації випромінювання, що обґрунтовує доцільність побудови елементів розв’язку та вивчення їх особливостей. Аналізуючи інтервали стійкості для різних пар зв’язаних параметрів доходимо висновку, що у випадку пари зв’язаних параметрів  умова стійкості (5.29) дозволяє охопити весь інтервал значень параметра накачки, що буває на практиці, і вибрати відповідні значення  для забезпечення стійкості режиму періодичної генерації випромінювання. Інші умови стійкості, в яких більшість параметрів обмежена вузьким інтервалом допустимих значень, не дають такої можливості.

 

Побудова періодичного розв’язку.

Для побудови періодичного розв’язку за формулами (3.4) – (3.7) знаходяться його елементи. Зокрема, для знаходження періоду коливань використовується величина , яка з урахуванням порядку параметра  набирає вигляду

 

, .

 

Вираз записано безвідносно до того, який параметр взято як біфуркаційний. 

Для біфуркаційного значення параметра  знаходимо

 

,  ,   .

 

Враховуючи, що останній вираз має порядок , а вираз  має порядок , період коливань можна записати так:

 

,

 

де  містить доданки виразу  пропорційні .

Малий  функціональний параметр  – амплітуда модуляції набуває значення

,

 

аналіз якого показує, що  для забезпечення додатності  необхідно вимагати виконання нерівності , тобто реалізується докритична біфуркація.

Відокремлення дійсної та уявної  частин у формулі (3.8), використання значень  дозволяє знайти розв’язок системи (5.22) в квадратичному наближенні:

 

                (5.31)

 

де  – матриця перетворення,

, визначаються парою зв’язаних параметрів.

Аналіз розв’язку. Розв’язок (5.31) у лінійному наближенні має вигляд

 

 

Таким чином,  змінюється  за законом косинусоїди з амплітудою

 

             

Аналогічно можна представити закон змінювання величини :

де початкова фаза  .

Шляхом виключення  параметра  з лінійного розв’язку одержуємо криву

 

                               (5.32)

 

яка існує, якщо , тому , . З урахування порядку  доходимо до висновку, що другий доданок у правій частині (5.32) є малою величиною, отже, в першому наближенні рух фазової точки відбувається по кривій, близькій до еліпса з центром у точці  і півосями , . 

Одержаний розв’язок можна використати для знаходження деяких інтегральних характеристик режиму періодичного випромінювання до яких належить, зокрема, середня інтенсивність випромінювання за період , яку сприймає модулятор добротності. Середня інтенсивність визначається таким чином:

 

,

 

 де  - фазова координата, яка знаходиться  з (5.31):

 

 

У виразах для визначення  доцільно залишити лише доданки з парними степенями тригонометричних функцій, оскільки саме вони роблять внесок у значення інтеграла, тоді

 

 

Використання інтегралів приводить до результату

 

Аналіз одержаного результату показує, що  модуляція приводить до збільшення потужності, яка виділяється на модуляторі, що може мати практичне застосування.  Оскільки , то виділення енергії дещо зменшується при  .

Вплив параметра   на елементи періодичного розв’язку вивчено в роботі  [49], де встановлено,  що врахування відносної відстройки  частоти поля від центра спектральної лінії приводить до зменшення амплітуди інтенсивності випромінювання , інверсії , частоти модуляції , збільшує період коливань , звужує інтервал стійкості для стаціонарної інтенсивності поля фотонів.

Таким чином, у результаті чисельного дослідження лазерної нелінійної системи встановлена наявність біфуркації Хопфа в балансній моделі твердотільного лазера з кубічним модулятором добротності. В результаті проведення біфуркаційного аналізу одержано аналітичні розв’язки для інтенсивності випромінювання та інверсної заселеності рівнів, з’ясовано вплив відносної відстройки частоти поля від центра спектральної лінії на елементи граничних циклів. У рамках проведення біфуркаційного аналізу виявлено, що перехід від одного біфуркаційного параметра до іншого може мати важливі наслідки для вивчення динаміки лазера, серед яких - зміна області стійкості граничного циклу, розширення чи звуження інтервалу стійкості для окремого параметра, збільшення чи зменшення періоду та амплітуди коливань.