5.3.2 Біфуркація Хопфа в моделі лазера з безінерційним фільтром та нелінійним елементом

Результати біфуркаційного аналізу моделі лазера з безінерційним фільтром та нелінійним елементом наведені в роботі [50], де встановлено, що внесення в резонатор лазера з фільтром квадратично-нелінійного елемента викликає стійку амплітудну модуляцію випромінювання при біфуркаційному значенні параметрів   і . Наведемо основні результати зазначеної роботи.

Система (1.7) вивчається в околі стаціонарного розв’язку, який визначається рівняннями

 

                                            (5.34)

 

Матриця Якобі  правих частин системи, обчислена у стаціонарному розв’язку , має вигляд

 

                         .                    (5.35)

 

Її власні значення

 

                      (5.36)

 

розглядаються в околі тих значень параметрів, що перетворюють стаціонарний розв’язок у стійкий фокус, тобто при  виконанні нерівностей: ,  . Необхідною умовою виникнення біфуркації Хопфа є обертання в нуль дійсної частини власних значень: 

 

                              .                             (5.37)

 

Внаслідок цього матриця Якобі (5.35) набирає вигляду

 

,

 

а її власні значення стають суто уявними:  де   – перше наближення до невідомої частоти модуляції випромінювання . За визначених умов стаціонарний розв’язок втрачає стійкість, в системі (1.7) виникають періодичні коливання навколо стаціонарного розв’язку з частотою .

 

Дослідження стійкості автоколивань.

Періодичні коливання, які можуть виникнути в системі внаслідок набуття одним із параметрів  або  біфуркаційного значення, існуватимуть лише за наявності області їх стійкості, яка визначається множиною значень параметрів системи. Згідно з алгоритмом біфуркації народження циклу, в роботі [50] досліджено стійкість періодичної модуляції,  знайдено критерій стійкості періодичних коливань, який з урахуванням порядку параметра зводиться до вигляду

 

                           ,                 (5.38)

де ,  .

 

З урахуванням залежності (5.38) одержуються інтервали стійкості для  параметра накачки. У випадку біфуркаційного  параметра  :

 

 

у випадку  біфуркаційного параметра :

.

 

Показано, що залежно від вибору  значень  і  існує достатньо широкий інтервал значень параметра накачки.

У результаті біфуркаційного аналізу системи (1.7) знайдено аналітичні залежності для елементів граничного циклу, запропоновано методику їх розрахунку,  а також побудовано періодичний розв’язок динамічної системи

 

           (5.39)

 

де – матриця перетворення системи (1.7), .

Уявлення про криву граничного циклу можна отримати, якщо розглянути перше наближення розв’язку за малим параметром  (5.39):

 

                                  (5.40)

 

Після вилучення параметра  з залежностей (5.40) отримаємо

 

                       (5.41)

 

Аналіз виразу (5.41) показує, що граничний цикл у першому наближенні описується еліпсом з півосями  та центром у стаціонарному розв’язку .

На підставі даних, отриманих у результаті біфуркаційного аналізу [50], знаходиться густина інтенсивності випромінювання фотонів, яка з урахуванням (5.39) набирає вигляду:

 

.

Тоді для ненасиченого поглинання фільтра  у випадку біфуркаційного параметра  отримаємо  , а у випадку біфуркаційного параметра :  , де  .

Період коливань, які виникають в динамічній системі, визначається за формулами (3.5), (3.7) та має вигляд                                             

 

                                .                                     (5.42)

 

Підкреслимо, що аналітичні залежності для густини інтенсивності поля фотонів, періоду, частоти модуляції, критеріїв та інтервалів стійкості дають можливість поставлення обернених задач динаміки лазерів на твердому тілі.  Зокрема,  якщо експериментально визначено період коливань , тоді з рівняння  (5.22)  випливає оцінка для параметра  – амплітуди модуляції:

 

                               .                                  (5.23)

 

Варто зазначити, що розв’язання обернених задач динаміки лазерів відкриває широкі перспективи дослідницької роботи. Проведений аналіз показав, що поєднання методу адіабатичного виключення швидкої змінної з алгоритмом біфуркації народження циклу є ефективним способом дослідження динаміки лазера з фільтром. У результаті проведення біфуркаційного аналізу одержано наближені періодичні розв’язки для густини інтенсивності випромінювання, інверсії, ненасиченого поглинання в фільтрі у випадку біфуркації Хопфа, знайдено критерії стійкості періодичної модуляції, інтервали стійкості для параметра накачки, визначено період, частоту модуляції.