6.1 Моделі одномодових лазерів класу С

На відміну від інших типів лазерів динамічні властивості лазерів класу С визначаються лише взаємодією між генерованим полем та активним середовищем. Біфуркації в системі та складні режими генерації не пов’язані  ні з зовнішнім впливом, ні з наявністю додаткових нелінійних елементів, ні з взаємодією мод,  первісна причина нестійкості стаціонарної генерації більш фундаментальна. У роботі [10] отримана  модель одномодового лазера біжучої хвилі з некогерентною накачкою:

 

                                 (6.1)

 

де   – дійсна частина амплітуди поля;   – дійсна частина амплітуди поляризації атомної системи;  – уявна частина амплітуди поляризації атомної системи;  – нормована різниця заселеності;  – відношення констант релаксації поля і поляризації атомної системи;  – відносна відстройка частоти поля від центра спектральної лінії; –  відношення повздовжньої і поперечної констант релаксації середовища;   – параметр накачки.

Серед моделей одномодових лазерів біжучої хвилі окремо виділяють модель Лоренца-Хакена, яка поклала початок дослідженню автостохастичних процесів у лазерах. Модель Лоренца-Хакена, що утворюється з моделі (6.1) у випадку точної наладки лазера, має вигляд [10]

                                                          (6.2)

 

де  – модуль амплітуди електричного поля;  –  модуль амплітуди поляризації атомної системи;  – нормована різниця заселеності; інші змінні мають попереднє значення.

Огляд літературних джерел показав, що біфуркація Хопфа властива різним лазерних моделям, які містять більше двох диференціальних рівнянь. Зокрема, при певних значеннях параметрів у моделі лазера типу Лоренца-Хакена (6.2) та моделі лазера біжучої хвилі (6.1) виникає регулярний режим автоколивань, якому відповідає стійкий граничний цикл.

Як свідчать  результати попередніх досліджень, алгоритм біфуркації народження циклу є ефективним методом вивчення режиму неперервної періодичної генерації у випадку двовимірних напівкласичних моделей твердотільних лазерів. Саме наявність великого параметра в теорії лазерів класу В дозволила з’ясувати питання про стійкість періодичної генерації, отримати критерії та інтервали стійкості для параметрів моделей. Застосування зазначеного алгоритму  потребує  зведення системи до канонічного вигляду, що у випадку системи трьох та більшого числа диференціальних рівнянь приводить до значного зростання громіздкості аналітичних перетворень. Ця обставина стає  більш істотною у випадку моделей лазерів класу С, всі параметри яких  мають  однаковий порядок, оскільки неможливо спростити залежності на основі асимптотичних оцінок співвідношень між параметрами.  Більш ефективним у цьому випадку є  метод  Джозефа, який дає можливість звести -вимірну задачу до двовимірної через проектування фазового простору на площину, яка утворюється власними векторами лінійної частини оператора, що відповідають двом уявним власним значенням матриці Якобі, обчисленій в стаціонарній точці, а також  побудувати періодичний розв’язок динамічної системи.

Динаміка моделей  (6.1), (6.2) вивчається у [51], де для побудови наближених розв’язків нелінійних систем одномодових лазерів біжучої хвилі використовується метод Джозефа.

Біфуркаційний аналіз моделі Лоренца-Хакена (6.2) проведено в околі нетривіального стаціонарного розв’язку   Знайдено аналітичний вираз  порога  нестійкості для параметра накачки перше наближення до невідомої частоти модуляції

 

.

 

 Побудовано періодичний розв’язок, що описує режим регулярних автоколивань.

Аналогічно проводиться біфуркаційний аналіз  чотиривимірної моделі біжучої хвилі, яка порівняно з моделлю Лоренца-Хакена враховує відносну відстройку  частоти поля від центра спектральної лінії. Система (6.1) вивчається в околі нетривіального стаціонарного розв’язку внаслідок втрати стійкості якого в системі можуть виникнути періодичні коливання.

З’ясовано умови виникнення біфуркації Хопфа, визначено біфуркаційне значення параметра накачки

 

де  

 

знайдено перше наближення до невідомої частоти модуляції :

 

 

побудовано періодичний розв’язок динамічної системи.

Для з’ясування питання про стійкість періодичного розв’язку  в обох випадках пропонується застосовувати  теорему факторизації,  згідно з якою показник Флокке подається у вигляді добутку двох співмножників, один з яких дорівнює похідній від збурюючого параметра  за малим параметром .  Однак з’ясування цього питання вимагає додаткового  дослідження.

 Отже, використання методу Джозефа та алгоритму біфуркації народження циклу при дослідженні напівкласичних моделей одномодових лазерів класу С дозволяє з’ясувати умови виникнення біфуркації Хопфа у відповідних динамічних моделях та побудувати періодичний розв’язок, що виникає навколо стаціонарного внаслідок набуття одним із параметрів моделі свого біфуркаційного значення.