2 ТЕОРЕТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІКИ ЛАЗЕРНИХ МОДЕЛЕЙ

Лазери класу В, типовими представниками яких є твердотільні лазери, демонструють велику кількість варіантів поведінки. Зокрема, у [10] наводяться численні експериментальні факти, що засвідчують наявність незгасаючих регулярних пульсацій в динаміці твердотільних лазерів. Проведення теоретичного аналізу лазерних моделей дозволяє вивчити різні режими генерації, з’ясувати вплив модуляції добротності, наявності нелінійних елементів на динаміку лазерів, порівняти результати теоретичних розрахунків з експериментальними даними.

Модель Статца–Демарса використовувалася для теоретичного дослідження динаміки одномодового лазера з втратами резонатора, що автоматично регулюються. У роботах [14,15] вивчається динаміка лазера з від’ємним зворотним зв’язком за наявності нелінійного елемента, який введено в резонатор. Відповідна система диференціальних рівнянь набирає вигляду

                                              (2.1)

 

У зазначених роботах вигляд функції  не конкретизується. Рівняння (2.1) лінеаризуються в околі нетривіального стаціонарного розв’язку : ; , після чого знаходяться корені характеристичного рівняння:

 

, .

 

Відмічається, що аперіодичний перехідний процес реалізується в тому випадку, коли стаціонарна точка є стійким вузлом, тобто якщо корені характеристичного рівняння дійсні та від’ємні. Врахування великого параметра  дозволило авторам отримати умову від’ємності коренів:  та умову відсутності пульсацій: . Система (2.1) вивчається у [10], де підкреслюється, що у лазерах з додатним зворотним зв’язком при деяких умовах  виникає граничний цикл, тобто потужність випромінювання зазнає періодичних коливань. Зауважимо, що балансна напівкласична модель (1.3) переходить в класичну модель Статца-Демарса, якщо взяти . Системі рівнянь Статца-Демарса присвячено багато досліджень, які стосуються здебільшого вивчення малих коливань моделі під впливом слабої періодичної модуляції параметрів, у тому числі за рахунок введення в резонатор модулятора добротності. Подібні питання розглядаються, наприклад, у роботах [16–21].

З’ясування впливу періодичної модуляції параметрів на режими генерації лазерів класу В проведено в роботах [14,17,18], де досліджуються моделі типу (1.4). У монографії [10] також приділяється увага питанням періодичної модуляції параметрів, узагальнюються результати попередніх досліджень. Аналіз динаміки моделі (1.4) проводиться за умови модуляції втрат резонатора, накачки та параметра . З порівняння коефіцієнтів підсилення модуляції автор доходить висновку, що серед розглянутих способів резонансного збудження пульсацій лазерів на твердому тілі модуляція накачки найменш ефективна. Результат пояснюється тим, що швидкості релаксації заселеності та накачки в лазерах класу В надто поступаються частотою релаксаційних коливань, тому модуляція накачки перетворюється в коливання інверсії із значним послабленням. Дослідження системи (1.4) проведено в роботі [22], що дало можливість пояснити пульсації випромінювання твердотільних лазерів, що довільно винікають, дослідити умови формування гігантських імпульсів.

Вивченню динаміки лазера з фільтром, що просвітлюється, присвячена значна кількість теоретичних та експериментальних досліджень. Результати якісного аналізу балансних рівнянь в моделі некогерентної взаємодії випромінювання з речовиною подано в роботах [9,23,24], де разом з нестійкостями, що існують до досягнення першого порогу, коли втрати перевищують підсилення, вивчаються полістабільність та регулярні динамічні режими. Зокрема, у [9] досліджується модель лазера з безінерційним фільтром шляхом застосування елементів теорії біфуркації, з’ясовано умови виникнення автоколивань, запропоновано формули та алгоритми розрахунків стійких та нестійких циклів, результати якісного аналізу підтверджено чисельними методами. У випадку когерентної взаємодії випромінювання з середовищем у лазері з фільтром, що просвітлюється, не тільки виникають нові стани рівноваги, але й діє обумовлений когерентністю механізм нестійкості, в тому числі нижче, ніж перший лазерний поріг. У роботах [25,26] відмічається, що при зміні параметрів лазерної моделі динаміка генерації зазнає біфуркацій, які приводять до регулярних, квазіперіодичних та хаотичних пульсацій, що дає можливість досліджувати гістерезисні явища, які відрізняються від аналогічних ефектів за умови некогерентної взаємодії. У роботах [13,27] вивчаються стаціонарні розв’язки системи (1.5), умови їх стійкості, досліджуються корені характеристичного рівняння, з’ясовано, що лише у поглинаючому середовищі може порушуватися стійкість стаціонарної генерації, розглядаються області абсолютно стійкої генерації, області нестійкості, наводяться спрощені критерії стійкості.

Фундаментальним питанням нелінійної динаміки лазерів присвячено роботи [28–30]. Теоретичне та експериментальне дослідження фізичних процесів, які самостабілізують певні нерівноважні режими роботи твердотільних лазерів проведено в [31], де значна увага приділяється новим методам керування лазерними параметрами. Режими генерації твердотільних лазерів при модуляції їх параметрів вивчаються в роботах [32,33].

Як показав огляд літературних джерел з динаміки лазерів, саме в роботах мінської школи лазерної фізики при аналізі динаміки лазерних моделей починають застосовуватись методи теорії біфуркації, що дало можливість отримати важливу інформацію про поведінку розв’язків динамічних систем через аналіз належності параметрів лазера певним областям змінювання. Одночасно автори визнають недостатність застосування лише якісних методів. До аналітичних методів дослідники відносять метод Понтрягіна [34], але цей метод дає можливість визначити лише кількість граничних циклів та дослідити їх стійкість, алгоритму побудови самого граничного циклу він не містить. У випадку отримання аналітичних залежностей для параметрів лазерних моделей, аналітичного вигляду розв’язків динамічних систем виникає можливість теоретично дослідити режим неперервної періодичної генерації, вивчити вплив зміни параметрів лазера на його динаміку.

Значна увага вивченню біфуркаційних процесів у лазерних моделях приділяється у монографіях [8,10], де наведені результати теоретичного вивчення динаміки лазерів через аналіз відповідних математичних моделей. У [8] на основі застосування теорії біфуркацій вивчаються фізичні процеси, що породжують нестійкість та приводять до формування регулярних і хаотичних пульсацій. Вплив фізичних механізмів на стійкість стаціонарної генерації, поведінка лазерів в областях нестійкості, сценарії змінювання режимів генерації при різних значеннях параметрів керування досліджуються в [10]. У зазначеній монографії наведені численні експериментальні факти, що демонструють наявність стійких граничних циклів у динаміці лазерів, та неодноразово підкреслюється важливість теоретичного вивчення біфуркації Хопфа – переходу порогу нестійкості системи, при якому відбувається зміна знака дійсної частини комплексного характеристичного кореня та вище якого встановлюється режим незгасаючої автомодуляції випромінювання. Окрема увага приділяється проблемі поставлення обернених задач динаміки лазерів, тобто способів визначення параметрів лазера за особливостями його динамічної поведінки. Автор відмічає, що в цьому напрямку проведено недостатньо досліджень, хоча проблема одержання інформації про параметри лазера та окремі елементи має велике практичне значення. На його думку, для розв’язання зазначеної проблеми необхідно використовувати нові ідеї, що базуються на сучасних концепціях нелінійної динаміки.