§86 Робота з переміщення заряду в електростатичному полі. Теорема про циркуляцію електростатичного поля. Потенціальна енергія точкового заряду. Потенціал електричного поля. Потенціал системи зарядів [5]

 

 

1. Розглянемо нерухомий точковий електричний заряд , який створює у вакуумі електричне поле . Нехай у цьому полі переміщується інший точковий заряд , який переходить із початкового положення 1 в кінцеве положення 2 вздовж довільної кривої 12 (див. рис. 86.1). Визначимо роботу, яку виконують сили поля при такому переміщенні.

Відповідно до закону Кулона на точковий заряд  з боку заряду  діє сила

            ,           (86.1)

де  – напруженість поля, що створюється зарядом . Використаємо визначення роботи сили на ділянці 12 і отримуємо

            .           (86.2)

Тут використали, що  (у цьому легко впевнитися, продиференціювавши тотожність ).

Таким чином, при будь-якому виборі початкової й кінцевої точок 1 і 2 робота  не залежить від форми шляху, а визначається тільки положеннями цих точок. Силові поля, що задовольняють такій умові, називаються потенціальними або консервативними. Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенціальним.

Доведене справедливо для електричного поля будь-якої системи нерухомих точкових зарядів. Це безпосередньо випливає із принципу суперпозиції електричних полів і з відомої теореми механіки, відповідно до якої робота результуючої сили дорівнює сумі робіт складових сил. Таким чином, електричне поле будь-якої системи нерухомих зарядів є потенціальним.

2. З механіки відомо, що робота консервативних сил по будь-якому замкненому шляху дорівнює нулю. У випадку електростатичного поля ця робота визначається інтегралом  (кружок біля знака інтеграла вказує на те, що інтегрування виконується по замкненому контуру). Прирівнявши цей інтеграл до нуля й скоротивши на , прийдемо до співвідношення

            ,           (86.3)

яке повинне виконуватися для будь-якого замкненого контура. Інтеграл виду  називається циркуляцією вектора  по замкненому контуру. Таким чином, характерним для електростатичного поля є те, що циркуляція вектора  по будь-якому замкненому контуру дорівнює нулю. Це твердження і співвідношення (86.3) називають теоремою про циркуляцію напруженості електростатичного поля.

Необхідно мати на увазі, що умова (86.3) є справедливою тільки для електростатичного поля. Далі буде показано, що для поля, яке змінюється з часом умова (86.3) не виконується.

3. Знайдемо потенціальну енергію точкового заряду  в полі заряду . Відомо, що робота консервативних сил може бути подана як зменшення потенціальної енергії:

            .

Порівняння цього співвідношення з формулою (86.2) дає для потенційної енергії, яку має заряд  у полі заряду , вираз

            .

Значення константи у даному випадку вибирається так, щоб при віддаленні заряду  від заряду  на нескінченність (тобто для ) потенціальна енергія ставала такою, що дорівнює нулю. За такої умови випливає, що , і потенціальна енергія заряду  у полі заряду  має вигляд

            .           (86.4)

Зауважимо, що отриманий вираз потрібно розглядати як взаємну потенціальну енергію зарядів  і  (потенціальну енергію взаємодії двох точкових зарядів).

4. Скалярна величина, що дорівнює відношенню потенціальної енергії до її електричного заряду

                        (86.5)

не залежить від величини заряду  й може бути використана для характеристики поля. Ця величина називається потенціалом поля в даній точці. Дійсно, у випадку точкового заряду  потенціал його поля буде мати вигляд

                        (86.6)

і не буде залежати від заряду , а буде визначатися тільки величинами  і , які характеризують поле в даній точці.

Відповідно до формули (86.5) заряд , що знаходиться в точці поля з потенціалом , має потенційну енергію

            .           (86.7)

Використовуючи (86.7), виразимо роботу сил поля над зарядом  через різницю потенціалів:

            .           (86.8)

Таким чином, робота, що виконується над зарядом силами поля, дорівнює добутку заряду на зменшення потенціалу.

5. Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів робота, яка виконується над зарядом  силами поля, що створено системою зарядів , дорівнює

            ,           (86.9)

де  робота, яка була б виконана над зарядом  силами поля, що створювалось одним лише зарядом .

Відповідно до формули (86.8) роботу  можна подати у вигляді , де  – потенціал результуючого поля. Аналогічно можна подати роботу , де  потенціал поля, який створював би заряд . Підставивши ці вирази у формулу (86.9), прийдемо до співвідношення

            ,

з якого випливає, що потенціал системи зарядів дорівнює

            .           (86.10)

Таким чином, потенціал поля, який створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, що створюється кожним із зарядів окремо.

6. За одиницю потенціалу в системі СІ беруть вольт (В), який дорівнює, виходячи з визначення потенціалу (86.5)

            .           (86.11)

У фізиці часто користуються одиницею роботи й енергії, яку називають електрон-вольтом (еВ) і яка дорівнює роботі, що виконується силами поля над елементарним зарядом  при проходженні ним різниці потенціалів в один вольт:

            .           (86.12)