§87 Зв’язок між напруженістю електростатичного поля і потенціалом. Силові лінії та еквіпотенціальні поверхні. Перпендикулярність силових ліній і еквіпотенціальних поверхонь [5]

1. Електростатичне поле можна описати або за допомогою векторної величини , або за допомогою скалярної величини . Очевидно, що ці величини повинні бути зв'язані один з одним тому, що описують один і той же матеріальний об’єкт – електричне поле. Знайдемо зв’язок між напруженістю електричного поля  та потенціалом .

Відповідно до визначень напруженості електричного поля та потенціалу можемо записати

            ,  ,        (87.1)

де  є силою, з якою електричне поле діє на точковий заряд ;  є потенціальною енергією точкового заряду  в електричному полі. Як відомо, між консервативною силою та потенціальною енергією, яка відповідає цій консервативній силі, існує зв’язок

            ,           (87.2)

де  – оператор набла. Підставимо в (87.2) вирази (87.1) і отримаємо після скорочення на  співвідношення

            ,           (87.3)

відповідно до якого напруженість електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу, узятому зі зворотним знаком.

2. За допомогою (87.3) можна за відомою функцією  знайти напруженість поля в кожній точці поля. Можна вирішити й зворотне завдання – знаючи функцію , знайти різницю потенціалів між двома довільними точками поля. Для цього скористаємося тим, що робота , яка виконується силами поля над зарядом  при переміщенні його по довільній траєкторії із точки 1 у точку 2, визначається інтегралом =. Також цю роботу можна подати у вигляді =. Порівнюючи обидва вирази й скоротивши на , отримаємо

            .           (87.4)

Інтеграл можна брати по будь-якій лінії, що з'єднує точки 1 і 2, через те, що робота сил електростатичного поля не залежить від шляху.

3. Для графічного зображення електричного поля вводять поверхні рівного потенціалу та силові лінії електричного поля.

Силовою лінією електричного поля називають математичну лінію, дотична до якої у довільній точці цієї лінії є паралельною до вектора напруженості електричного поля в цій же точці. За додатний напрямок силової лінії домовилися вважати напрямок вектора . При такій умові можна сказати, що електричні силові лінії починаються на додатних зарядах і закінчуються на від’ємних. Можна показати, що в просторі, вільному від електричних зарядів, силові лінії йдуть густіше там, де поле  сильніше, і рідше там, де воно слабше. Тому за густотою силових ліній можна судити й про величину напруженості електричного поля. На рис. 87.1 зображені силові лінії рівномірно заряджених кульок – додатного і від’ємного, а на рис. 87.2 – двох різнойменних і однойменних зарядів рівної величини, які розміщені на таких кульках.

Уявна поверхня, всі точки якої мають однаковий потенціал, називається поверхнею рівного потенціалу або еквіпотенціальною поверхнею.

4. Покажемо, що силові лінії електричного поля завжди перпендикулярні еквіпотенціальним поверхням. Для цього розглянемо елементарне переміщення  електричного заряду  вздовж еквіпотенціальної поверхні. Через те, що в цьому випадку і початкова і кінцева точки будуть розміщені у еквіпотенціальній поверхні, елементарна робота при переміщенні заряду  буде дорівнювати нулю

                        (87.5)

(, точки 1 та 2 належать одній еквіпотенціальній поверхні). З іншого боку, використовуючи визначення роботи, знаходимо

            ,           (87.6)

де  кут між векторами  та .

Порівнюючи (87.5) та (87.6) знаходимо, що для довільної , яка дотична до еквіпотенціальної поверхні, виконується умова

            .

 Ми розглядаємо випадок, коли . Це означає, що . Звідси випливає, що вектор напруженості електричного поля , отже, і силова лінія завжди перпендикулярні до еквіпотенціальної поверхні.

Еквіпотенціальну поверхню можна провести через будь-яку точку поля. Однак доцільно проводити поверхні так, щоб різниця потенціалів між сусідніми поверхнями була однаковою (наприклад, 1 В). Тоді за густиною еквіпотенціальних поверхонь можна судити про модуль напруженості поля: там де поверхні густіше, потенціал змінюється уздовж лінії поля швидше й, отже, напруженість поля більша; там де поверхні рідше, напруженість поля менше.

На рис. 87.3 зображені силові лінії  (суцільні) і лінії перетину еквіпотенціальних поверхонь із площиною креслення (штрихові) для поля точкового заряду.