§91 Напруженість електричного поля однорідно зарядженої циліндричної поверхні [2]

1. Якщо заряд знаходиться на дуже тонкому «ниткоподібному» провіднику, розподіл заряду вздовж нитки характеризують за допомогою лінійної густини , що визначається виразом

            ,           (91.1)

де  – фізично нескінченно малий відрізок нитки;  – заряд, що знаходиться на цьому відрізку.

Знайдемо напруженість електричного поля нескінченної циліндричної поверхні радіуса , яка заряджена однорідно з лінійною густиною  (рис. 91.1). З міркувань симетрії випливає, що напруженість поля в будь-якій точці повинна бути направлена уздовж радіальної прямої, яка перпендикулярна до осі циліндра, а величина напруженості може залежати тільки від відстані  до осі циліндра.

 

 

Виходячи з вище описаної симетрії поля, виберемо поверхню інтегрування у вигляді коаксіального із зарядженою поверхнею циліндра радіуса  й висоти h (рис. 91.1). Знайдемо потік вектора  через цю поверхню. Нормальні складові вектора напруженості на бічній поверхні будуть дорівнювати  (заряд вважаємо додатним), на основі циліндра  (вектор напруженості електричного поля і нормаль до основи взаємно перпендикулярні). Тому потік вектора  через замкнену поверхню інтегрування буде дорівнювати

            .           (91.2)

Тепер знайдемо заряд всередині поверхні інтегрування. Тут потрібно розглянути два випадки. У випадку, коли радіус поверхні інтегрування більше або дорівнює радіусу циліндра , заряд всередині поверхні інтегрування дорівнює, як це випливає з рисунка,

            , коли .           (91.3)

Коли ж , то поверхня інтегрування знаходиться всередині циліндричної поверхні, на якій розміщено електричний заряд. Тому в цьому випадку всередині поверхні інтегрування заряд буде дорівнювати нулю

            , коли .           (91.4)

Тепер використаємо теорему Гаусса

            .           (91.5)

Підставивши в (91.5) формули (91.2) й (91.3) для першого випадку отримаємо

             або , коли .    (91.6)

Для другого випадку підставляємо в (91.5) формули (91.2) й (91.4). Звідси,

            , коли .           (91.7)

Таким чином, отримали формули (91.6) та (91.7), які визначають напруженість електричного поля від нескінченної циліндричної поверхні радіуса , яка заряджена однорідно з лінійною густиною .