§92 Напруженість електричного поля об’ємно зарядженої кулі [2]

1. Об'ємна густина електричного заряду  визначається як відношення заряду  до фізично нескінченно малого об'єму , у якому знаходиться цей заряд:

            .           (92.1)

Знайдемо напруженість електричного поля нескінченної об’ємно зарядженої кулі радіуса , яка має густину електричного заряду  (рис. 92.1). З міркувань симетрії випливає, що поле, яке створюється електричним зарядом кулі, буде центральносиметричним. Це означає, що напрямок вектора  в будь-якій точці проходить через центр кулі, а величина напруженості є функцією відстані  від центра кулі.

 

 

Виходячи з вище описаної симетрії поля, виберемо поверхню інтегрування у вигляді концентричної із зарядженою кулею сферичну поверхню радіуса  (на рис. 92.1 зображена пунктирною лінією). Для всіх точок цієї поверхні  (заряд кулі вважаємо додатним, вектор напруженості електричного поля і нормаль до поверхні інтегрування є паралельними). Тому потік вектора  через замкнену поверхню інтегрування буде дорівнювати

            .           (92.2)

Тепер знайдемо заряд всередині поверхні інтегрування. Тут потрібно розглянути два випадки: а і б, див. рис. 92.1. У випадку а, коли радіус поверхні інтегрування більше або дорівнює радіусу кулі , заряд всередині поверхні інтегрування дорівнює, як це випливає з рисунка, заряду усієї кулі

            , коли .           (92.3)

Коли ж  (випадок б, див. рис. 92.1), то поверхня інтегрування знаходиться всередині кулі. Тому всередині поверхні інтегрування буде знаходитися тільки частина заряду кулі, яка дорівнює

            , коли .           (92.4)

Тепер використаємо теорему Гаусса

            .           (92.5)

Підставивши в (92.5) формули (92.2) й (92.3) для випадку а отримаємо

             або , коли .    (92.6)

Для випадку б підставляємо в (92.5) формули (92.2) й (92.4). Звідси,

             або , коли .    (92.7)

Таким чином, отримали формули (92.6) та (92.7), які визначають напруженість електричного поля однорідно зарядженої кулі радіуса  з густиною електричного заряду . Як бачимо, за межами кулі поле збігається з полем точкового заряду тієї ж величини, що і куля, який поміщено в центр кулі. Всередині ж кулі напруженість поля росте лінійно з відстанню  від центра кулі.